Номер 3.207, страница 123 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки - номер 3.207, страница 123.

Условие.

3.207. На рисунке 61 на клетчатой бумаге изображены несколько ломаных, делящих квадрат $4 \times 4$ клетки на две равные фигуры. Представим, что паучок бежит по ломаной от одного её конца к другому. Определите наименьшую и наибольшую длину маршрута паучка, считая длину стороны клетки равной 1.

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи проанализируем условия. Квадрат размером $4 \times 4$ клетки имеет общую площадь 16 клеток. Ломаная линия делит этот квадрат на две равные фигуры. "Равные фигуры" в данном контексте означают фигуры с одинаковой площадью. Следовательно, площадь каждой фигуры составляет $16 / 2 = 8$ клеток. Также предполагается, что фигуры конгруэнтны, то есть их можно совместить наложением.

Длина стороны одной клетки принята за 1.

Наименьшая длина маршрута

Чтобы длина разделяющей линии была минимальной, фигуры должны быть максимально компактными, а их общая граница — максимально прямой. Самый короткий путь, который делит квадрат $4 \times 4$ на две равные части — это прямой отрезок, соединяющий середины противоположных сторон.

Например, если провести вертикальную линию ровно посередине квадрата, он разделится на два прямоугольника размером $2 \times 4$. Площадь каждого такого прямоугольника равна $2 \times 4 = 8$ клеток, что соответствует условию. Длина такой разделяющей линии равна длине стороны квадрата, то есть 4.

Любое отклонение от прямой линии, например, создание "ступенек", приведет только к увеличению общей длины пути. Следовательно, 4 является наименьшей возможной длиной ломаной.

Ответ: 4.

Наибольшая длина маршрута

Чтобы найти наибольшую длину маршрута ($L$), нужно сделать линию максимально извилистой. Это соответствует случаю, когда получаемые фигуры имеют максимально возможный периметр ($P$).

Поскольку ломаная делит квадрат на две конгруэнтные фигуры, их периметры должны быть равны. Периметр каждой фигуры складывается из длины самой ломаной ($L$) и части периметра исходного квадрата. Так как фигуры равны, части периметра квадрата, которые их ограничивают, также должны быть равны. Общий периметр квадрата $4 \times 4$ равен 16. Значит, на каждую фигуру приходится участок периметра квадрата длиной $16 / 2 = 8$.

Таким образом, периметр $P$ каждой из двух фигур связан с длиной ломаной $L$ формулой: $P = L + 8$.

Теперь оценим максимально возможный периметр для фигуры площадью $A=8$ клеток (такая фигура называется октомино). Максимальный периметр достигается, когда клетки выстроены в "цепочку", минимизируя количество общих сторон между клетками внутри одной фигуры. Для полимино из $A$ клеток его периметр $P$ не может превышать значения, определяемого формулой:

$P \le 2A + 2$

Подставим в эту формулу значение площади $A=8$:

$P \le 2 \cdot 8 + 2 = 18$

Максимально возможный периметр фигуры из 8 клеток равен 18.

Теперь, используя связь $P = L + 8$, найдем максимальную длину $L$:

$L + 8 \le 18$

$L \le 18 - 8$

$L \le 10$

Таким образом, теоретический максимум для длины ломаной — 10. Можно показать, что такая ломаная, делящая квадрат $4 \times 4$ на две конгруэнтные фигуры, действительно существует. Следовательно, наибольшая длина маршрута паучка равна 10.

Ответ: 10.