Номер 3.212, страница 124 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки. Глава 3. Целые числа - номер 3.212, страница 124.

Условие.

3.212. Дан отрезок $AB$ и точка $O$, не лежащая на этом отрезке. Постройте отрезок $A_1 B_1$, симметричный отрезку $AB$, так, чтобы точки $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$ были симметричны относительно точки $O$. Соедините точки $A$ и $B_1$, $A_1$ и $B$. Укажите все пары отрезков, симметричных друг другу относительно точки $O$. Какие из построенных отрезков симметричны сами себе относительно точки $O$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи выполним построение и проанализируем его свойства.

1. Построение:

• Через точки $A$ и $O$ проводим прямую. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OA_1$, равный отрезку $OA$, так, чтобы точка $O$ оказалась между точками $A$ и $A_1$. Точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно $O$.
• Аналогично через точки $B$ и $O$ проводим прямую и строим точку $B_1$, симметричную точке $B$ относительно $O$ ($BO = OB_1$).
• Соединяем точки $A_1$ и $B_1$. Полученный отрезок $A_1B_1$ является симметричным отрезку $AB$ относительно точки $O$.
• Соединяем точки $A$ и $B_1$, а также точки $A_1$ и $B$.

В результате построения мы получаем четырехугольник $AB_1A_1B$, диагонали которого ($AA_1$ и $BB_1$) пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, четырехугольник $AB_1A_1B$ — параллелограмм.

Укажите все пары отрезков, симметричных друг другу относительно точки O.
Центральная симметрия отображает отрезок в равный ему отрезок. Чтобы найти отрезок, симметричный данному, нужно найти точки, симметричные его концам, и соединить их.

• Пара 1: По построению точка $A$ симметрична точке $A_1$, а точка $B$ симметрична точке $B_1$. Следовательно, отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$ (отрезок $AB$), симметричен отрезку, соединяющему точки $A_1$ и $B_1$ (отрезок $A_1B_1$).
• Пара 2: Рассмотрим отрезок $AB_1$. Точка, симметричная точке $A$ относительно $O$, — это $A_1$. Точка, симметричная точке $B_1$ относительно $O$, — это $B$. Следовательно, отрезок $AB_1$ симметричен отрезку $A_1B$.

Ответ: $AB$ и $A_1B_1$; $AB_1$ и $A_1B$.

Какие из построенных отрезков симметричны сами себе относительно точки O?
Отрезок симметричен сам себе относительно некоторой точки только в том случае, если эта точка является его серединой. В нашем построении:

• Точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$ по определению симметричной точки.
• Точка $O$ является серединой отрезка $BB_1$ по определению симметричной точки.

Другие построенные отрезки ($AB$, $A_1B_1$, $AB_1$, $A_1B$) не проходят через точку $O$ (поскольку по условию точка $O$ не лежит на отрезке $AB$, а значит, и на симметричном ему $A_1B_1$), поэтому $O$ не может быть их серединой.
Ответ: $AA_1$ и $BB_1$.