Номер 3.208, страница 123 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки - номер 3.208, страница 123.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ

3.208. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные части.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей, обозначим ее $O$.

По определению центра симметрии, поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$ отображает прямоугольник сам на себя. Это означает, что при таком повороте каждая точка прямоугольника переходит в другую точку этого же прямоугольника. В частности, вершина $A$ переходит в $C$, $B$ в $D$, $C$ в $A$, и $D$ в $B$.

Рассмотрим произвольную прямую $l$, проходящую через центр симметрии $O$. Эта прямая делит прямоугольник на две части, назовем их фигура $F_1$ и фигура $F_2$.

Чтобы доказать, что эти две части равны, достаточно показать, что они конгруэнтны, то есть одну можно получить из другой движением (в данном случае — поворотом).

Выполним поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$:

1. Так как прямая $l$ проходит через центр поворота $O$, она при этом повороте отображается сама на себя.
2. Так как $O$ — центр симметрии прямоугольника, весь прямоугольник $ABCD$ при этом повороте также отображается сам на себя.

Возьмем любую точку $P$, принадлежащую фигуре $F_1$. Ее образом при повороте на $180^\circ$ вокруг $O$ будет точка $P'$. Поскольку точка $P$ лежит внутри прямоугольника, ее образ $P'$ также будет лежать внутри прямоугольника.

Точка $P$ лежит по одну сторону от прямой $l$. При повороте на $180^\circ$ вокруг точки $O$, лежащей на прямой $l$, полуплоскость, в которой лежит $F_1$, перейдет в полуплоскость, в которой лежит $F_2$. Следовательно, точка $P'$ будет принадлежать фигуре $F_2$.

Это означает, что вся фигура $F_1$ при повороте на $180^\circ$ вокруг $O$ отображается на фигуру $F_2$.

Поскольку фигуру $F_2$ можно получить из фигуры $F_1$ с помощью поворота (который является движением), эти две фигуры конгруэнтны. Конгруэнтные фигуры имеют равные площади и периметры. Следовательно, они являются равными частями.

Таким образом, любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные (конгруэнтные) части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойстве центральной симметрии. Поворот на $180^\circ$ вокруг центра симметрии $O$ отображает прямоугольник на себя. Любая прямая, проходящая через $O$, при таком повороте также отображается на себя. Эта прямая делит прямоугольник на две фигуры. При указанном повороте одна фигура полностью совмещается с другой. Следовательно, эти две фигуры конгруэнтны, а значит, равны.