Номер 3.208, страница 123 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: фиолетовый, зелёный в сеточку
ISBN: 978-5-09-106341-7
Популярные ГДЗ в 6 классе
Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки. Глава 3. Целые числа - номер 3.208, страница 123.
№3.208 (с. 123)
Условие. №3.208 (с. 123)
скриншот условия

ДОКАЗЫВАЕМ
3.208. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные части.
Решение 2. №3.208 (с. 123)

Решение 3. №3.208 (с. 123)

Решение 4. №3.208 (с. 123)

Решение 5. №3.208 (с. 123)
Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей, обозначим ее $O$.
По определению центра симметрии, поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$ отображает прямоугольник сам на себя. Это означает, что при таком повороте каждая точка прямоугольника переходит в другую точку этого же прямоугольника. В частности, вершина $A$ переходит в $C$, $B$ в $D$, $C$ в $A$, и $D$ в $B$.
Рассмотрим произвольную прямую $l$, проходящую через центр симметрии $O$. Эта прямая делит прямоугольник на две части, назовем их фигура $F_1$ и фигура $F_2$.
Чтобы доказать, что эти две части равны, достаточно показать, что они конгруэнтны, то есть одну можно получить из другой движением (в данном случае — поворотом).
Выполним поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$:
- Так как прямая $l$ проходит через центр поворота $O$, она при этом повороте отображается сама на себя.
- Так как $O$ — центр симметрии прямоугольника, весь прямоугольник $ABCD$ при этом повороте также отображается сам на себя.
Возьмем любую точку $P$, принадлежащую фигуре $F_1$. Ее образом при повороте на $180^\circ$ вокруг $O$ будет точка $P'$. Поскольку точка $P$ лежит внутри прямоугольника, ее образ $P'$ также будет лежать внутри прямоугольника.
Точка $P$ лежит по одну сторону от прямой $l$. При повороте на $180^\circ$ вокруг точки $O$, лежащей на прямой $l$, полуплоскость, в которой лежит $F_1$, перейдет в полуплоскость, в которой лежит $F_2$. Следовательно, точка $P'$ будет принадлежать фигуре $F_2$.
Это означает, что вся фигура $F_1$ при повороте на $180^\circ$ вокруг $O$ отображается на фигуру $F_2$.
Поскольку фигуру $F_2$ можно получить из фигуры $F_1$ с помощью поворота (который является движением), эти две фигуры конгруэнтны. Конгруэнтные фигуры имеют равные площади и периметры. Следовательно, они являются равными частями.
Таким образом, любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные (конгруэнтные) части. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказательство основано на свойстве центральной симметрии. Поворот на $180^\circ$ вокруг центра симметрии $O$ отображает прямоугольник на себя. Любая прямая, проходящая через $O$, при таком повороте также отображается на себя. Эта прямая делит прямоугольник на две фигуры. При указанном повороте одна фигура полностью совмещается с другой. Следовательно, эти две фигуры конгруэнтны, а значит, равны.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 3.208 расположенного на странице 123 к учебнику серии мгу - школе 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №3.208 (с. 123), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.