Страница 123 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.203. На клетчатой бумаге изображён прямоугольник $3 \times 4$ (рис. 64). Найдите пять способов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги.

Для того чтобы разрезать прямоугольник на две равные части, необходимо, чтобы площадь каждой части была одинаковой, а сами части были конгруэнтны, то есть совпадали при наложении (с учетом поворотов и отражений).

Площадь данного прямоугольника составляет $S = 3 \times 4 = 12$ клеток. Следовательно, каждая из двух равных частей должна иметь площадь $S_1 = S_2 = 12 / 2 = 6$ клеток.

Условие конгруэнтности будет выполняться, если линия разреза, идущая по линиям сетки, будет обладать центральной симметрией относительно центра прямоугольника. Центр симметрии прямоугольника $3 \times 4$ — это точка, находящаяся на пересечении его осей симметрии (на расстоянии 2 клетки от боковых сторон и 1.5 клетки от горизонтальных сторон).

Ниже представлены пять способов такого разрезания.

Разрез прямой вертикальной линией, проходящей через центр прямоугольника. Эта линия является осью симметрии фигуры. В результате получаются два одинаковых прямоугольника размером $3 \times 2$.

Ответ: См. рисунок выше.

Ступенчатый разрез, который начинается на верхней стороне прямоугольника и заканчивается на нижней. Полученные фигуры ("ступенчатые пирамиды") конгруэнтны, так как одна может быть получена из другой поворотом на 180° вокруг центра прямоугольника.

Ответ: См. рисунок выше.

Разрез в виде ломаной линии, идущей от левой стороны к правой. Этот разрез также является центрально-симметричным и делит прямоугольник на две равные Z-образные фигуры.

Ответ: См. рисунок выше.

Это еще один вариант разреза от левой стороны к правой, симметричный предыдущему способу относительно горизонтальной оси прямоугольника. В результате также получаются две равные Z-образные фигуры.

Ответ: См. рисунок выше.

Этот способ является симметричным отражением способа 2. Линия разреза идет от нижней стороны к верхней, образуя две такие же "ступенчатые пирамиды".

Ответ: См. рисунок выше.

3.204. На клетчатой бумаге изобразите прямоугольник $3 \times 5$, из которого удалён центральный квадрат (рис. 65). Найдите пять способов разрезания оставшейся фигуры на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги.

Рис. 65

Исходная фигура представляет собой прямоугольник размером $3 \times 5$ клеток, из которого удалена центральная клетка. Общая площадь фигуры составляет $S = 3 \times 5 - 1 = 14$ клеток. Необходимо разрезать эту фигуру на две равные части. Это означает, что каждая часть должна иметь площадь $S_1 = S_2 = 14 / 2 = 7$ клеток. Поскольку исходная фигура имеет центр симметрии (в центре удаленного квадрата), любой разрез, который также является центрально-симметричным относительно этого центра, разделит фигуру на две конгруэнтные (а значит, и равные по площади) части. Линия разреза должна проходить по линиям сетки.

Ниже представлены пять различных способов такого разрезания. Каждая из двух полученных частей состоит из 7 клеток и является полимино.

В этом способе линия разреза имеет форму горизонтальной ступенчатой линии, проходящей через центр фигуры.

Ответ: Один из возможных способов разрезания показан на рисунке выше.

В этом способе линия разреза также является ступенчатой, но имеет более сложную форму.

Ответ: Один из возможных способов разрезания показан на рисунке выше.

Этот способ симметричен предыдущему относительно вертикальной оси симметрии фигуры.

Ответ: Один из возможных способов разрезания показан на рисунке выше.

Здесь разрез имеет форму вертикальной ступенчатой линии.

Ответ: Один из возможных способов разрезания показан на рисунке выше.

Этот способ разрезания также использует вертикально-ориентированную ступенчатую линию, но с другой конфигурацией.

Ответ: Один из возможных способов разрезания показан на рисунке выше.

3.205. На клетчатой бумаге изображён квадрат $6 \times 6$. Найдите шесть способов разрезания квадрата на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги.

Для того чтобы разрезать квадрат на две равные (конгруэнтные) части, линия разреза должна быть центрально-симметричной относительно центра квадрата. Центр квадрата 6×6 находится в точке пересечения сеток между 3-й и 4-й строками и 3-м и 4-м столбцами. Все представленные ниже способы разрезания удовлетворяют этому свойству.

Каждая из двух полученных фигур будет состоять из $36 / 2 = 18$ клеток.

Ниже приведены шесть различных способов такого разрезания. Для наглядности части окрашены в разные цвета.

Способ 1

Разрезка квадрата по горизонтальной средней линии. В результате получаются два одинаковых прямоугольника размером 6×3.

Ответ: Разрезание квадрата по горизонтальной средней линии на два прямоугольника 6×3.

Способ 2

Разрезка квадрата по вертикальной средней линии. В результате получаются два одинаковых прямоугольника размером 3×6.

Ответ: Разрезание квадрата по вертикальной средней линии на два прямоугольника 3×6.

Способ 3

Ступенчатый разрез, соединяющий точки на противоположных сторонах, например, на второй строке слева и на четвертой строке справа. В результате получаются две L-образные фигуры.

Ответ: Ступенчатый разрез, образующий две конгруэнтные L-образные фигуры.

Способ 4

Повернутый на 90 градусов ступенчатый разрез. Например, линия разреза соединяет точки на втором столбце сверху и четвертом столбце снизу.

Ответ: Ступенчатый разрез, повернутый на 90 градусов относительно способа 3.

Способ 5

Разрез в виде "змейки", который симметрично проходит от одной стороны квадрата до другой. Например, соединяя точки на границе (1,0) и (5,6) (в координатах узлов сетки от 0 до 6).

Ответ: Разрез в виде симметричной "змейки", в результате которого получаются две фигуры неправильной формы.

Способ 6

Разрез в виде "змейки", повернутый на 90 градусов. Например, соединяющий точки (0,1) и (6,5).

Ответ: Разрез в виде "змейки", повернутый на 90 градусов относительно способа 5.

3.206. Можно ли квадрат $5 \times 5$, изображённый на клетчатой бумаге, разрезать на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги?

Квадрат размером $5 \times 5$ на клетчатой бумаге состоит из $5 \times 5 = 25$ единичных клеток.

Чтобы разрезать этот квадрат на две равные части, необходимо, чтобы эти части имели одинаковую площадь. Площадь каждой части должна быть равна половине общей площади квадрата:

$25 \div 2 = 12.5$ клеток.

Однако, по условию, линия разреза должна идти по линиям клетчатой бумаги. Это означает, что каждая из полученных фигур (частей) будет состоять из целого числа клеток. Площадь такой фигуры не может быть дробным числом, таким как 12.5.

Поскольку общее число клеток (25) нечетное, его невозможно разделить на два целых числа. Следовательно, невозможно разделить квадрат $5 \times 5$ на две части с равным количеством клеток, если разрез идет по линиям сетки. А раз части не могут иметь равную площадь, они не могут быть равными.

Ответ: нет, нельзя.

3.207. На рисунке 61 на клетчатой бумаге изображены несколько ломаных, делящих квадрат $4 \times 4$ клетки на две равные фигуры. Представим, что паучок бежит по ломаной от одного её конца к другому. Определите наименьшую и наибольшую длину маршрута паучка, считая длину стороны клетки равной 1.

Для решения задачи проанализируем условия. Квадрат размером $4 \times 4$ клетки имеет общую площадь 16 клеток. Ломаная линия делит этот квадрат на две равные фигуры. "Равные фигуры" в данном контексте означают фигуры с одинаковой площадью. Следовательно, площадь каждой фигуры составляет $16 / 2 = 8$ клеток. Также предполагается, что фигуры конгруэнтны, то есть их можно совместить наложением.

Длина стороны одной клетки принята за 1.

Чтобы длина разделяющей линии была минимальной, фигуры должны быть максимально компактными, а их общая граница — максимально прямой. Самый короткий путь, который делит квадрат $4 \times 4$ на две равные части — это прямой отрезок, соединяющий середины противоположных сторон.

Например, если провести вертикальную линию ровно посередине квадрата, он разделится на два прямоугольника размером $2 \times 4$. Площадь каждого такого прямоугольника равна $2 \times 4 = 8$ клеток, что соответствует условию. Длина такой разделяющей линии равна длине стороны квадрата, то есть 4.

Любое отклонение от прямой линии, например, создание "ступенек", приведет только к увеличению общей длины пути. Следовательно, 4 является наименьшей возможной длиной ломаной.

Ответ: 4.

Чтобы найти наибольшую длину маршрута ($L$), нужно сделать линию максимально извилистой. Это соответствует случаю, когда получаемые фигуры имеют максимально возможный периметр ($P$).

Поскольку ломаная делит квадрат на две конгруэнтные фигуры, их периметры должны быть равны. Периметр каждой фигуры складывается из длины самой ломаной ($L$) и части периметра исходного квадрата. Так как фигуры равны, части периметра квадрата, которые их ограничивают, также должны быть равны. Общий периметр квадрата $4 \times 4$ равен 16. Значит, на каждую фигуру приходится участок периметра квадрата длиной $16 / 2 = 8$.

Таким образом, периметр $P$ каждой из двух фигур связан с длиной ломаной $L$ формулой: $P = L + 8$.

Теперь оценим максимально возможный периметр для фигуры площадью $A=8$ клеток (такая фигура называется октомино). Максимальный периметр достигается, когда клетки выстроены в "цепочку", минимизируя количество общих сторон между клетками внутри одной фигуры. Для полимино из $A$ клеток его периметр $P$ не может превышать значения, определяемого формулой:

$P \le 2A + 2$

Подставим в эту формулу значение площади $A=8$:

$P \le 2 \cdot 8 + 2 = 18$

Максимально возможный периметр фигуры из 8 клеток равен 18.

Теперь, используя связь $P = L + 8$, найдем максимальную длину $L$:

$L + 8 \le 18$

$L \le 18 - 8$

$L \le 10$

Таким образом, теоретический максимум для длины ломаной — 10. Можно показать, что такая ломаная, делящая квадрат $4 \times 4$ на две конгруэнтные фигуры, действительно существует. Следовательно, наибольшая длина маршрута паучка равна 10.

Ответ: 10.

ДОКАЗЫВАЕМ

3.208. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные части.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей, обозначим ее $O$.

По определению центра симметрии, поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$ отображает прямоугольник сам на себя. Это означает, что при таком повороте каждая точка прямоугольника переходит в другую точку этого же прямоугольника. В частности, вершина $A$ переходит в $C$, $B$ в $D$, $C$ в $A$, и $D$ в $B$.

Рассмотрим произвольную прямую $l$, проходящую через центр симметрии $O$. Эта прямая делит прямоугольник на две части, назовем их фигура $F_1$ и фигура $F_2$.

Чтобы доказать, что эти две части равны, достаточно показать, что они конгруэнтны, то есть одну можно получить из другой движением (в данном случае — поворотом).

Выполним поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$:

1. Так как прямая $l$ проходит через центр поворота $O$, она при этом повороте отображается сама на себя.
2. Так как $O$ — центр симметрии прямоугольника, весь прямоугольник $ABCD$ при этом повороте также отображается сам на себя.

Возьмем любую точку $P$, принадлежащую фигуре $F_1$. Ее образом при повороте на $180^\circ$ вокруг $O$ будет точка $P'$. Поскольку точка $P$ лежит внутри прямоугольника, ее образ $P'$ также будет лежать внутри прямоугольника.

Точка $P$ лежит по одну сторону от прямой $l$. При повороте на $180^\circ$ вокруг точки $O$, лежащей на прямой $l$, полуплоскость, в которой лежит $F_1$, перейдет в полуплоскость, в которой лежит $F_2$. Следовательно, точка $P'$ будет принадлежать фигуре $F_2$.

Это означает, что вся фигура $F_1$ при повороте на $180^\circ$ вокруг $O$ отображается на фигуру $F_2$.

Поскольку фигуру $F_2$ можно получить из фигуры $F_1$ с помощью поворота (который является движением), эти две фигуры конгруэнтны. Конгруэнтные фигуры имеют равные площади и периметры. Следовательно, они являются равными частями.

Таким образом, любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные (конгруэнтные) части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойстве центральной симметрии. Поворот на $180^\circ$ вокруг центра симметрии $O$ отображает прямоугольник на себя. Любая прямая, проходящая через $O$, при таком повороте также отображается на себя. Эта прямая делит прямоугольник на две фигуры. При указанном повороте одна фигура полностью совмещается с другой. Следовательно, эти две фигуры конгруэнтны, а значит, равны.

3.209. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её на две равные части.

Пусть $F$ — заданная фигура, а точка $O$ — её центр симметрии. Пусть $l$ — произвольная прямая, проходящая через точку $O$. Прямая $l$ разделяет плоскость на две полуплоскости. Соответственно, фигура $F$ также делится этой прямой на две части, назовём их $F_1$ и $F_2$. Нам необходимо доказать, что эти части равны, то есть $F_1$ и $F_2$ конгруэнтны.

По определению, точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$, если для любой точки $A$ фигуры $F$ точка $A'$, симметричная $A$ относительно центра $O$, также принадлежит фигуре $F$. Преобразование центральной симметрии с центром в точке $O$, обозначим его $S_O$, отображает фигуру $F$ на саму себя, то есть $S_O(F) = F$.

Центральная симметрия является движением (изометрией), так как она сохраняет расстояния между точками. Две фигуры называются равными (конгруэнтными), если существует движение, которое переводит одну фигуру в другую.

Рассмотрим, как преобразование $S_O$ действует на часть $F_1$. Возьмём произвольную точку $A \in F_1$. Так как $F_1$ является частью $F$, то $A \in F$. По определению центра симметрии, точка $A' = S_O(A)$ также принадлежит фигуре $F$.

Точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой, причём $O$ — середина отрезка $AA'$. Поскольку прямая $l$ проходит через центр симметрии $O$, точка $A'$ будет лежать в другой полуплоскости относительно прямой $l$ по сравнению с точкой $A$ (за исключением случая, когда $A$ лежит на самой прямой $l$, тогда $A'$ также будет лежать на $l$). Это означает, что образ любой точки из части $F_1$ при симметрии $S_O$ будет принадлежать части $F_2$. Таким образом, преобразование $S_O$ отображает часть $F_1$ на часть $F_2$, то есть $S_O(F_1) = F_2$.

Поскольку существует движение (центральная симметрия $S_O$), которое отображает часть $F_1$ на часть $F_2$, то по определению равных фигур, эти части равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Центральная симметрия относительно центра фигуры является движением, которое переводит одну из частей, образованных прямой, в другую, следовательно, эти части равны.

3.210. Постройте окружность с центром $O$. Отметьте на ней точку $M$. Постройте точку $N$, симметричную точке $M$ относительно точки $O$. Верно ли, что окружность симметрична относительно своего центра?

Сначала выполним построения, описанные в задаче. Построим окружность с центром в точке $O$. Отметим на ней произвольную точку $M$. По определению окружности, все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от центра, которое называется радиусом $R$. Таким образом, длина отрезка $OM$ равна радиусу окружности: $OM = R$.

Далее построим точку $N$, симметричную точке $M$ относительно точки $O$. По определению центральной симметрии, точка $O$ является серединой отрезка $MN$. Это означает, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой, а также что расстояния от центра симметрии $O$ до точек $M$ и $N$ равны, то есть $OM = ON$. Отрезок $MN$ является диаметром окружности.

Теперь ответим на вопрос, верно ли, что окружность симметрична относительно своего центра. Фигура считается симметричной относительно точки (центра симметрии), если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Мы взяли произвольную точку $M$ на окружности. Для нее выполняется равенство $OM = R$. Мы построили симметричную ей точку $N$, для которой выполняется равенство $ON = OM$. Отсюда следует, что $ON = R$. Это означает, что точка $N$ также удалена от центра $O$ на расстояние, равное радиусу $R$. Следовательно, по определению окружности, точка $N$ также лежит на этой окружности.

Так как точка $M$ была выбрана на окружности произвольно, это рассуждение справедливо для любой точки окружности. Это доказывает, что окружность симметрична относительно своего центра $O$.

Ответ: Да, верно.