Страница 122 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.198. Какая точка координатной прямой симметрична относительно начала координат точке:

а) $5$;

б) $-7$;

в) $0$?

Симметрия точки на координатной прямой относительно начала координат (точки 0) означает нахождение такой точки, которая расположена на том же расстоянии от нуля, но в противоположном направлении. Таким образом, для точки с координатой $a$, симметричная ей точка будет иметь координату $-a$.

а)
Найдём точку, симметричную точке с координатой 5.
Для этого нужно найти число, противоположное числу 5. Противоположным числом для 5 является -5.
Таким образом, точка, симметричная точке 5 относительно начала координат, имеет координату -5.
Ответ: -5.

б)
Найдём точку, симметричную точке с координатой -7.
Для этого нужно найти число, противоположное числу -7. Противоположным числом для -7 является $-(-7) = 7$.
Таким образом, точка, симметричная точке -7 относительно начала координат, имеет координату 7.
Ответ: 7.

в)
Найдём точку, симметричную точке с координатой 0.
Точка с координатой 0 является началом координат. Она является центром симметрии и, следовательно, симметрична самой себе.
Противоположным числом для 0 является 0, так как $-0 = 0$.
Ответ: 0.

3.192. Объясните, какие две точки называют симметричными относительно точки $O$.

Две точки, назовем их A и A', называются симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка, соединяющего точки A и A' (то есть отрезка AA').

Это определение означает, что должны одновременно выполняться два условия:

1. Точки A, O и A' лежат на одной прямой.

2. Точка O находится на одинаковом расстоянии от точек A и A'. Математически это записывается как равенство длин отрезков: $AO = OA'$.

Точку O в данном случае называют центром симметрии.

Ответ: Две точки называют симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка, соединяющего эти две точки.

3.200. По рисунку 63 определите, какая точка симметрична относительно точки $O$ точке:

а) $A$;

б) $B$;

в) $C$;

г) $D$;

д) $M$;

е) $N$;

ж) $O$.

Две точки называются симметричными относительно третьей точки (центра симметрии), если эта третья точка является серединой отрезка, соединяющего две первые точки. То есть, точки $A$ и $A'$ симметричны относительно точки $O$, если точка $O$ — середина отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $O$, $A'$ лежат на одной прямой и расстояние $AO$ равно расстоянию $OA'$.

Поскольку рисунок 63 не предоставлен, будем исходить из наиболее вероятной конфигурации точек, которая обычно используется в таких задачах. Чаще всего это вершины и другие характерные точки центрально-симметричной фигуры, например, параллелограмма $ABCD$, центр которого (точка пересечения диагоналей) находится в точке $O$. Точки $M$ и $N$ также, скорее всего, расположены симметрично друг другу относительно центра $O$.

Чтобы найти точку, симметричную точке $A$ относительно точки $O$, нужно провести прямую через точки $A$ и $O$ и отложить на ней от точки $O$ отрезок, равный отрезку $AO$, в противоположном направлении от $A$. В центрально-симметричной фигуре (например, параллелограмме $ABCD$) с центром $O$ точка, симметричная вершине $A$, является противоположная ей вершина $C$, так как $O$ — середина диагонали $AC$.

Ответ: $C$.

Аналогично, в параллелограмме $ABCD$ с центром $O$ точка, симметричная вершине $B$, является противоположная ей вершина $D$, так как $O$ — середина диагонали $BD$. Точки $B$, $O$ и $D$ лежат на одной прямой, и $BO = OD$.

Ответ: $D$.

Симметрия — это взаимное свойство. Если точка $C$ симметрична точке $A$ относительно $O$, то и точка $A$ симметрична точке $C$ относительно $O$. Точка $O$ является серединой отрезка $CA$. Следовательно, точка, симметричная точке $C$ относительно точки $O$, — это точка $A$.

Ответ: $A$.

По той же причине, что и в пункте в), если точка $D$ симметрична точке $B$ относительно $O$, то и точка $B$ симметрична точке $D$ относительно $O$. Точка $O$ является серединой отрезка $DB$. Следовательно, точка, симметричная точке $D$ относительно точки $O$, — это точка $B$.

Ответ: $B$.

Предполагая, что точки $M$ и $N$ на рисунке также расположены симметрично относительно центра $O$. Например, они могут быть серединами противоположных сторон $BC$ и $AD$ параллелограмма. В этом случае отрезок $MN$ проходит через центр симметрии $O$, и точка $O$ является его серединой ($MO=ON$). Тогда точка, симметричная точке $M$ относительно $O$, — это точка $N$.

Ответ: $N$.

Исходя из предположения в пункте д), если точка $N$ симметрична $M$ относительно $O$, то и точка $M$ симметрична $N$ относительно $O$. Следовательно, точка, симметричная точке $N$ относительно точки $O$, — это точка $M$.

Ответ: $M$.

Точка, симметричная центру симметрии относительно самого себя, — это сама эта точка. Расстояние от точки $O$ до точки $O$ равно нулю. Отрезок $OO$ вырождается в точку $O$, серединой которой она и является. Таким образом, точка, симметричная точке $O$ относительно точки $O$, — это сама точка $O$.

Ответ: $O$.

ка симметрична относительно точки $O$ точке:

а) $A$; б) $B$; в) $C$; г) $D$;

д) $M$; е) $N$; ж) $O$.

3.201. По рисунку 63 определите, какой отрезок симметричен относительно точки $O$ отрезку:

а) $AB$; б) $AD$; в) $BC$; г) $AO$;

д) $BO$; е) $OC$; ж) $BD$; з) $MN$.

Рис. 63

Для решения задачи воспользуемся понятием центральной симметрии. Две точки P и P' называются симметричными относительно центра O, если точка O является серединой отрезка PP'.

Введем систему координат с центром в точке O. Анализируя сетку на рисунке 63, определим координаты ключевых точек:

• O(0, 0)
• A(-3, -2)
• B(3, -2)
• C(3, 2)
• D(-3, 2)
• M(-4, 1)
• N(4, -1)

Если точка P имеет координаты $(x, y)$, а центр симметрии O находится в начале координат $(0, 0)$, то симметричная ей точка P' будет иметь координаты $(x', y')$, где O является серединой PP'. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам $x_O = \frac{x+x'}{2}$ и $y_O = \frac{y+y'}{2}$. Подставляя координаты точки O(0, 0), получаем $0 = \frac{x+x'}{2}$ и $0 = \frac{y+y'}{2}$, откуда следует, что $x' = -x$ и $y' = -y$. Таким образом, точка, симметричная точке $(x, y)$ относительно начала координат, имеет координаты $(-x, -y)$.

Часть 1: Определение симметричных точек

Применим это правило для нахождения точек, симметричных данным.

Координаты точки A: $(-3, -2)$. Симметричная точка будет иметь координаты $(-(-3), -(-2)) = (3, 2)$. Это координаты точки C.

Ответ: C

Координаты точки B: $(3, -2)$. Симметричная точка будет иметь координаты $(-(3), -(-2)) = (-3, 2)$. Это координаты точки D.

Ответ: D

Координаты точки C: $(3, 2)$. Симметричная точка будет иметь координаты $(-(3), -(2)) = (-3, -2)$. Это координаты точки A.

Ответ: A

Координаты точки D: $(-3, 2)$. Симметричная точка будет иметь координаты $(-(-3), -(2)) = (3, -2)$. Это координаты точки B.

Ответ: B

Координаты точки M: $(-4, 1)$. Симметричная точка будет иметь координаты $(-(-4), -(1)) = (4, -1)$. Это координаты точки N.

Ответ: N

Координаты точки N: $(4, -1)$. Симметричная точка будет иметь координаты $(-(4), -(-1)) = (-4, 1)$. Это координаты точки M.

Ответ: M

Координаты точки O: $(0, 0)$. Симметричная точка будет иметь координаты $(-(0), -(0)) = (0, 0)$. Точка O симметрична сама себе.

Ответ: O

Часть 2: Задание 3.201. Определение симметричных отрезков

Отрезок A'B' является симметричным отрезку AB относительно центра O, если точка A' симметрична A, а точка B' симметрична B относительно O. Используем результаты, полученные в первой части.

Точке A симметрична точка C. Точке B симметрична точка D. Следовательно, отрезку AB симметричен отрезок CD.

Ответ: CD

Точке A симметрична точка C. Точке D симметрична точка B. Следовательно, отрезку AD симметричен отрезок CB (или BC).

Ответ: BC

Точке B симметрична точка D. Точке C симметрична точка A. Следовательно, отрезку BC симметричен отрезок DA (или AD).

Ответ: AD

Точке A симметрична точка C. Точка O симметрична сама себе. Следовательно, отрезку AO симметричен отрезок CO.

Ответ: CO

Точке B симметрична точка D. Точка O симметрична сама себе. Следовательно, отрезку BO симметричен отрезок DO.

Ответ: DO

Точка O симметрична сама себе. Точке C симметрична точка A. Следовательно, отрезку OC симметричен отрезок OA (или AO).

Ответ: AO

Точке B симметрична точка D. Точке D симметрична точка B. Следовательно, отрезку BD симметричен отрезок DB. Это означает, что отрезок BD симметричен сам себе относительно точки O.

Ответ: BD

Точке M симметрична точка N. Точке N симметрична точка M. Следовательно, отрезку MN симметричен отрезок NM. Это означает, что отрезок MN симметричен сам себе относительно точки O.

Ответ: MN

3.202. По рисунку 63 определите, какой фигуре симметричен относительно точки $O$:

а) треугольник $BCO$;

б) треугольник $ADC$;

в) треугольник $CNO$;

г) прямоугольник $ABCD$;

д) четырёхугольник $DCNM$.

Поскольку рисунок 63 к задаче отсутствует, для ее решения необходимо сделать наиболее вероятное предположение о конфигурации изображенных фигур. Будем исходить из того, что $ABCD$ — это параллелограмм, диагонали $AC$ и $BD$ которого пересекаются в точке $O$. В этом случае точка $O$ является центром симметрии параллелограмма. Это означает, что для любой точки фигуры существует симметричная ей точка относительно центра $O$, которая также принадлежит фигуре. В частности, для вершин параллелограмма выполняются следующие соотношения: точка, симметричная $A$ относительно $O$, — это $C$, а точка, симметричная $B$ относительно $O$, — это $D$, и наоборот.

Центральная симметрия относительно точки $O$ — это преобразование, при котором каждая точка $X$ фигуры переходит в точку $X'$ так, что $O$ является серединой отрезка $XX'$. Чтобы найти фигуру, симметричную треугольнику $BCO$, найдем точки, симметричные его вершинам $B$, $C$ и $O$ относительно точки $O$.
1. Точка, симметричная вершине $B$ относительно центра $O$, — это вершина $D$, так как в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам ($BO = OD$).
2. Точка, симметричная вершине $C$ относительно центра $O$, — это вершина $A$ ($AO = OC$).
3. Точка $O$ является центром симметрии, поэтому она отображается на саму себя.
Следовательно, при симметрии относительно точки $O$ вершины треугольника $BCO$ переходят в вершины $D, A, O$. Фигура, симметричная треугольнику $BCO$, — это треугольник $DAO$.

Ответ: треугольник $DAO$.

Аналогично предыдущему пункту, найдем точки, симметричные вершинам треугольника $ADC$ относительно точки $O$.
1. Точка, симметричная вершине $A$, — это вершина $C$.
2. Точка, симметричная вершине $D$, — это вершина $B$.
3. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$.
Таким образом, при симметрии относительно точки $O$ треугольник $ADC$ отображается на треугольник $CBA$.

Ответ: треугольник $CBA$.

Для определения фигуры, симметричной треугольнику $CNO$, необходимо знать расположение точки $N$. В отсутствие рисунка предположим, что $N$ — это середина стороны $AB$. Найдем точки, симметричные вершинам треугольника $CNO$ относительно центра $O$.
1. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$.
2. Точка, симметричная центру $O$, — это сама точка $O$.
3. Найдем точку, симметричную $N$. Если $N$ — середина $AB$, то ее радиус-вектор относительно точки $O$ равен $\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$. Радиус-вектор симметричной точки $N'$ равен $\vec{ON'} = -\vec{ON} = -\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$. Так как для параллелограмма $\vec{OA} = -\vec{OC}$ и $\vec{OB} = -\vec{OD}$, то $\vec{ON'} = -\frac{1}{2}(-\vec{OC} - \vec{OD}) = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})$. Этот вектор соответствует середине отрезка $CD$. Если обозначить середину стороны $CD$ буквой $M$, то точка, симметричная $N$, — это точка $M$.
Следовательно, треугольник $CNO$ симметричен треугольнику $AMO$.

Ответ: треугольник $AMO$ (в предположении, что $N$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $CD$).

Прямоугольник является центрально-симметричной фигурой. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей $O$. Это означает, что при симметрии относительно точки $O$ прямоугольник отображается сам на себя.
Проверим это по вершинам:
- Вершина $A$ переходит в $C$.
- Вершина $B$ переходит в $D$.
- Вершина $C$ переходит в $A$.
- Вершина $D$ переходит в $B$.
Совокупность вершин $\{A, B, C, D\}$ переходит в совокупность $\{C, D, A, B\}$. Таким образом, прямоугольник $ABCD$ переходит в прямоугольник $CDAB$, что является той же самой фигурой.

Ответ: прямоугольник $ABCD$ (или $CDAB$).

Как и в пункте (в), сделаем предположение о местоположении точек $N$ и $M$. Будем считать, что $N$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $CD$. Найдем симметричные вершины четырехугольника $DCNM$ относительно точки $O$.
1. Точка, симметричная вершине $D$, — это вершина $B$.
2. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$.
3. Точка, симметричная точке $N$ (середине $AB$), — это точка $M$ (середина $CD$), как было показано в решении пункта (в).
4. Точка, симметричная точке $M$ (середине $CD$), — это точка $N$ (середина $AB$).
Следовательно, четырехугольник $DCNM$ при симметрии относительно точки $O$ отображается на четырехугольник, образованный вершинами $B, A, M, N$. Это четырехугольник $BANM$.

Ответ: четырехугольник $BANM$ (в предположении, что $N$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $CD$).