Номер 3.202, страница 122 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки - номер 3.202, страница 122.

Условие.

3.202. По рисунку 63 определите, какой фигуре симметричен относительно точки $O$:

а) треугольник $BCO$;

б) треугольник $ADC$;

в) треугольник $CNO$;

г) прямоугольник $ABCD$;

д) четырёхугольник $DCNM$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Поскольку рисунок 63 к задаче отсутствует, для ее решения необходимо сделать наиболее вероятное предположение о конфигурации изображенных фигур. Будем исходить из того, что $ABCD$ — это параллелограмм, диагонали $AC$ и $BD$ которого пересекаются в точке $O$. В этом случае точка $O$ является центром симметрии параллелограмма. Это означает, что для любой точки фигуры существует симметричная ей точка относительно центра $O$, которая также принадлежит фигуре. В частности, для вершин параллелограмма выполняются следующие соотношения: точка, симметричная $A$ относительно $O$, — это $C$, а точка, симметричная $B$ относительно $O$, — это $D$, и наоборот.

а) треугольник BCO;

Центральная симметрия относительно точки $O$ — это преобразование, при котором каждая точка $X$ фигуры переходит в точку $X'$ так, что $O$ является серединой отрезка $XX'$. Чтобы найти фигуру, симметричную треугольнику $BCO$, найдем точки, симметричные его вершинам $B$, $C$ и $O$ относительно точки $O$.
1. Точка, симметричная вершине $B$ относительно центра $O$, — это вершина $D$, так как в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам ($BO = OD$).
2. Точка, симметричная вершине $C$ относительно центра $O$, — это вершина $A$ ($AO = OC$).
3. Точка $O$ является центром симметрии, поэтому она отображается на саму себя.
Следовательно, при симметрии относительно точки $O$ вершины треугольника $BCO$ переходят в вершины $D, A, O$. Фигура, симметричная треугольнику $BCO$, — это треугольник $DAO$.

Ответ: треугольник $DAO$.

б) треугольник ADC;

Аналогично предыдущему пункту, найдем точки, симметричные вершинам треугольника $ADC$ относительно точки $O$.
1. Точка, симметричная вершине $A$, — это вершина $C$.
2. Точка, симметричная вершине $D$, — это вершина $B$.
3. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$.
Таким образом, при симметрии относительно точки $O$ треугольник $ADC$ отображается на треугольник $CBA$.

Ответ: треугольник $CBA$.

в) треугольник CNO;

Для определения фигуры, симметричной треугольнику $CNO$, необходимо знать расположение точки $N$. В отсутствие рисунка предположим, что $N$ — это середина стороны $AB$. Найдем точки, симметричные вершинам треугольника $CNO$ относительно центра $O$.
1. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$.
2. Точка, симметричная центру $O$, — это сама точка $O$.
3. Найдем точку, симметричную $N$. Если $N$ — середина $AB$, то ее радиус-вектор относительно точки $O$ равен $\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$. Радиус-вектор симметричной точки $N'$ равен $\vec{ON'} = -\vec{ON} = -\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$. Так как для параллелограмма $\vec{OA} = -\vec{OC}$ и $\vec{OB} = -\vec{OD}$, то $\vec{ON'} = -\frac{1}{2}(-\vec{OC} - \vec{OD}) = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})$. Этот вектор соответствует середине отрезка $CD$. Если обозначить середину стороны $CD$ буквой $M$, то точка, симметричная $N$, — это точка $M$.
Следовательно, треугольник $CNO$ симметричен треугольнику $AMO$.

Ответ: треугольник $AMO$ (в предположении, что $N$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $CD$).

г) прямоугольник ABCD;

Прямоугольник является центрально-симметричной фигурой. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей $O$. Это означает, что при симметрии относительно точки $O$ прямоугольник отображается сам на себя.
Проверим это по вершинам:
- Вершина $A$ переходит в $C$.
- Вершина $B$ переходит в $D$.
- Вершина $C$ переходит в $A$.
- Вершина $D$ переходит в $B$.
Совокупность вершин $\{A, B, C, D\}$ переходит в совокупность $\{C, D, A, B\}$. Таким образом, прямоугольник $ABCD$ переходит в прямоугольник $CDAB$, что является той же самой фигурой.

Ответ: прямоугольник $ABCD$ (или $CDAB$).

д) четырёхугольник DCNM.

Как и в пункте (в), сделаем предположение о местоположении точек $N$ и $M$. Будем считать, что $N$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $CD$. Найдем симметричные вершины четырехугольника $DCNM$ относительно точки $O$.
1. Точка, симметричная вершине $D$, — это вершина $B$.
2. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$.
3. Точка, симметричная точке $N$ (середине $AB$), — это точка $M$ (середина $CD$), как было показано в решении пункта (в).
4. Точка, симметричная точке $M$ (середине $CD$), — это точка $N$ (середина $AB$).
Следовательно, четырехугольник $DCNM$ при симметрии относительно точки $O$ отображается на четырехугольник, образованный вершинами $B, A, M, N$. Это четырехугольник $BANM$.

Ответ: четырехугольник $BANM$ (в предположении, что $N$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $CD$).