Страница 115 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.179 По каким правилам раскрывают скобки в суммах?

Раскрытие скобок в алгебраических суммах подчиняется двум основным правилам, которые зависят от знака, стоящего непосредственно перед скобками.

Правило 1: Перед скобками стоит знак «+»

Если перед скобками стоит знак «плюс» (или нет знака, что равносильно плюсу), то скобки можно просто опустить, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок сохраняются.

Например, в выражении $a + (b - c)$ мы убираем скобки и получаем $a + b - c$.

Еще пример: $15 + ( -5 + 2) = 15 - 5 + 2 = 12$.

Ответ: Если перед скобками стоит знак «+», скобки опускаются вместе с этим знаком, а знаки слагаемых в скобках остаются без изменений.

Правило 2: Перед скобками стоит знак «−»

Если перед скобками стоит знак «минус», то при раскрытии скобок этот знак и сами скобки опускаются, а знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные (плюс на минус, а минус на плюс).

Например, в выражении $a - (b - c)$ мы убираем скобки и меняем знаки внутри, получая $a - b + c$.

Еще пример: $20 - (10 - 3) = 20 - 10 + 3 = 13$.

Ответ: Если перед скобками стоит знак «−», скобки опускаются вместе с этим знаком, а знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

...По каким правилам раскрывает скобки в суммах?

3.180. Какие правила и законы применяют для вычисления суммы нескольких слагаемых?

Для вычисления суммы нескольких слагаемых применяют следующие основные правила и законы сложения:

Переместительный закон сложения (коммутативность)
Этот закон гласит, что от перемены мест слагаемых их сумма не меняется. Это позволяет переставлять числа в сумме для удобства вычислений.
Формула в буквенном виде: $a + b = b + a$.
Например, $125 + 78 = 78 + 125 = 203$.

Сочетательный закон сложения (ассоциативность)
Этот закон утверждает, что при сложении трех и более чисел их можно группировать в любом порядке, результат от этого не изменится. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
Формула в буквенном виде: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
Например, при вычислении суммы $57 + 19 + 81$ удобнее сгруппировать слагаемые так: $57 + (19 + 81) = 57 + 100 = 157$.

Свойство сложения с нулем
Сумма любого числа и нуля равна этому же числу.
Формула в буквенном виде: $a + 0 = a$.
Например: $42 + 0 = 42$.

На практике эти законы часто используются вместе для рационализации (упрощения) вычислений. Например, чтобы найти сумму $48 + 13 + 37 + 2$, можно переставить (переместительный закон) и сгруппировать (сочетательный закон) слагаемые:
$(48 + 2) + (13 + 37) = 50 + 50 = 100$.

Ответ: Для вычисления суммы нескольких слагаемых применяют переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения, а также свойство сложения с нулем.

3.181. Раскройте скобки:

a) $49 - (38 - 5);$

б) $-32 + (78 - 9);$

в) $72 + (-32 + 9);$

г) $-63 - (-63 + 1);$

д) $(79 - 39) - (79 - 48);$

е) $(37 - 49) - (87 - 59);$

ж) $-(45 - 64) + (38 - 24);$

з) $-(-35 + 2) + (-35 - 8).$

а) $49 - (38 - 5)$

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, нужно опустить скобки и знак перед ними, а знаки всех слагаемых в скобках заменить на противоположные. Знак числа 38 внутри скобок — плюс, он меняется на минус. Знак числа 5 — минус, он меняется на плюс.

$49 - (38 - 5) = 49 - 38 + 5$

Теперь выполним вычисления по порядку:

$49 - 38 = 11$

$11 + 5 = 16$

Ответ: 16

б) $-32 + (78 - 9)$

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, нужно опустить скобки и этот знак плюс, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

$-32 + (78 - 9) = -32 + 78 - 9$

Теперь выполним вычисления по порядку:

$-32 + 78 = 46$

$46 - 9 = 37$

Ответ: 37

в) $72 + (-32 + 9)$

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак плюс, сохраняя знаки слагаемых внутри скобок.

$72 + (-32 + 9) = 72 - 32 + 9$

Выполняем вычисления:

$72 - 32 = 40$

$40 + 9 = 49$

Ответ: 49

г) $-63 - (-63 + 1)$

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак минус, меняя знаки всех слагаемых в скобках на противоположные.

$-63 - (-63 + 1) = -63 + 63 - 1$

Выполняем вычисления:

$-63 + 63 = 0$

$0 - 1 = -1$

Ответ: -1

д) $(79 - 39) - (79 - 48)$

Первые скобки можно просто опустить, так как перед ними нет знака (подразумевается плюс). Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому при их раскрытии меняем знаки слагаемых на противоположные.

$(79 - 39) - (79 - 48) = 79 - 39 - 79 + 48$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:

$(79 - 79) + (48 - 39) = 0 + 9 = 9$

Ответ: 9

е) $(37 - 49) - (87 - 59)$

Раскрываем первые скобки без изменения знаков, а при раскрытии вторых скобок меняем знаки, так как перед ними стоит минус.

$(37 - 49) - (87 - 59) = 37 - 49 - 87 + 59$

Сгруппируем слагаемые:

$(37 + 59) - (49 + 87) = 96 - 136 = -40$

Ответ: -40

ж) $-(45 - 64) + (38 - 24)$

Раскрываем первые скобки, меняя знаки, так как перед ними стоит минус. Раскрываем вторые скобки, сохраняя знаки, так как перед ними стоит плюс.

$-(45 - 64) + (38 - 24) = -45 + 64 + 38 - 24$

Сгруппируем слагаемые:

$(64 + 38) - (45 + 24) = 102 - 69 = 33$

Ответ: 33

з) $-(-35 + 2) + (-35 - 8)$

Перед первыми скобками стоит минус, поэтому меняем знаки внутри них. Перед вторыми скобками стоит плюс, поэтому сохраняем знаки.

$-(-35 + 2) + (-35 - 8) = 35 - 2 - 35 - 8$

Сгруппируем слагаемые:

$(35 - 35) - (2 + 8) = 0 - 10 = -10$

Ответ: -10

3.182. Раскройте скобки и вычислите:

а) $108 - (108 - 5);$

б) $-49 - (-49 + 2);$

в) $-56 + (-98 + 56);$

г) $100 - (-5 + 100);$

д) $(79 - 81) - (39 - 81);$

е) $(-78 + 23) + (27 + 78);$

ж) $(-39 + 15) - (5 - 39);$

з) $(105 - 48) - (62 + 105).$

а) $108 - (108 - 5)$

Сначала раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак «минус», мы меняем знаки всех членов внутри скобок на противоположные: $108 - 108 + 5$.

Теперь выполним вычисления, сгруппировав слагаемые: $(108 - 108) + 5 = 0 + 5 = 5$.

Ответ: 5

б) $-49 - (-49 + 2)$

Раскроем скобки. Знак «минус» перед скобками меняет знаки всех членов внутри на противоположные: $-49 - (-49) - 2 = -49 + 49 - 2$.

Выполним вычисления: $(-49 + 49) - 2 = 0 - 2 = -2$.

Ответ: -2

в) $-56 + (-98 + 56)$

Раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак «плюс», знаки членов внутри скобок не меняются: $-56 - 98 + 56$.

Сгруппируем слагаемые для удобства и выполним вычисления: $(-56 + 56) - 98 = 0 - 98 = -98$.

Ответ: -98

г) $100 - (-5 + 100)$

Раскроем скобки. Знак «минус» перед скобками меняет знаки всех членов внутри на противоположные: $100 - (-5) - 100 = 100 + 5 - 100$.

Сгруппируем слагаемые и выполним вычисления: $(100 - 100) + 5 = 0 + 5 = 5$.

Ответ: 5

д) $(79 - 81) - (39 - 81)$

Раскроем обе пары скобок. Первые можно просто опустить. Перед вторыми стоит знак «минус», поэтому знаки внутри меняются: $79 - 81 - 39 + 81$.

Сгруппируем слагаемые и выполним вычисления: $(79 - 39) + (-81 + 81) = 40 + 0 = 40$.

Ответ: 40

е) $(-78 + 23) + (27 + 78)$

Раскроем обе пары скобок. Так как перед скобками стоят знаки «плюс» (или нет знака, что эквивалентно плюсу), знаки внутри скобок не меняются: $-78 + 23 + 27 + 78$.

Сгруппируем слагаемые и выполним вычисления: $(-78 + 78) + (23 + 27) = 0 + 50 = 50$.

Ответ: 50

ж) $(-39 + 15) - (5 - 39)$

Раскроем скобки. Перед второй парой скобок стоит знак «минус», поэтому знаки внутри неё меняются на противоположные: $-39 + 15 - 5 - (-39) = -39 + 15 - 5 + 39$.

Сгруппируем слагаемые и выполним вычисления: $(-39 + 39) + (15 - 5) = 0 + 10 = 10$.

Ответ: 10

з) $(105 - 48) - (62 + 105)$

Раскроем скобки. Перед второй парой скобок стоит знак «минус», поэтому знаки внутри неё меняются на противоположные: $105 - 48 - 62 - 105$.

Сгруппируем слагаемые и выполним вычисления: $(105 - 105) - 48 - 62 = 0 - (48 + 62) = -110$.

Ответ: -110

3.183. Вычислите, раскрывая скобки только в тех случаях, когда это облегчает вычисления:

а) $79 - (63 + 7);$
б) $43 + (23 + 77);$
в) $79 - (79 - 7);$
г) $43 + (77 - 43);$
д) $102 - (56 + 44);$
е) $102 - (102 - 5);$
ж) $93 - (68 + 93);$
з) $-72 - (99 + 1);$
и) $48 - (11 + 19);$
к) $48 - (18 + 19);$
л) $-56 + (96 + 9);$
м) $59 + (96 + 4);$
н) $52 - (32 - 41);$
о) $73 - (68 - 8);$
п) $-25 - (-45 + 19).$

а) В этом случае проще сначала выполнить действие в скобках, так как в результате получается круглое число 70, что упрощает дальнейшее вычитание.
$79 - (63 + 7) = 79 - 70 = 9$.
Ответ: 9

б) Здесь также удобнее сначала посчитать сумму в скобках, так как $23 + 77$ дает в сумме 100, что делает последующее сложение тривиальным.
$43 + (23 + 77) = 43 + 100 = 143$.
Ответ: 143

в) В этом примере выгоднее раскрыть скобки. Это позволяет сократить одинаковые числа $79$ и $-79$, что сразу упрощает выражение.
$79 - (79 - 7) = 79 - 79 + 7 = 0 + 7 = 7$.
Ответ: 7

г) Раскрытие скобок облегчает вычисление, так как можно сократить числа $43$ и $-43$.
$43 + (77 - 43) = 43 + 77 - 43 = (43 - 43) + 77 = 0 + 77 = 77$.
Ответ: 77

д) Проще сначала выполнить сложение в скобках, так как $56 + 44$ в сумме дают 100.
$102 - (56 + 44) = 102 - 100 = 2$.
Ответ: 2

е) Здесь раскрытие скобок приводит к сокращению чисел $102$ и $-102$, что сильно упрощает вычисление.
$102 - (102 - 5) = 102 - 102 + 5 = 0 + 5 = 5$.
Ответ: 5

ж) Раскрытие скобок позволяет сократить одинаковые числа $93$ и $-93$, что является наилучшим способом упрощения.
$93 - (68 + 93) = 93 - 68 - 93 = (93 - 93) - 68 = 0 - 68 = -68$.
Ответ: -68

з) Удобнее сначала выполнить действие в скобках, так как сумма $99 + 1$ равна 100.
$-72 - (99 + 1) = -72 - 100 = -172$.
Ответ: -172

и) Сложение в скобках дает круглое число 30 ($11 + 19 = 30$), поэтому вычисляем сначала в скобках.
$48 - (11 + 19) = 48 - 30 = 18$.
Ответ: 18

к) В этом случае раскрытие скобок упрощает вычисление, так как разность $48 - 18$ легко считается и дает круглое число.
$48 - (18 + 19) = 48 - 18 - 19 = 30 - 19 = 11$.
Ответ: 11

л) Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые. Вычисление суммы $-56 + 96$ является более простым шагом.
$-56 + (96 + 9) = -56 + 96 + 9 = (-56 + 96) + 9 = 40 + 9 = 49$.
Ответ: 49

м) Удобнее сначала выполнить действие в скобках, так как сумма $96 + 4$ равна 100.
$59 + (96 + 4) = 59 + 100 = 159$.
Ответ: 159

н) Раскрытие скобок упрощает вычисление, так как разность $52 - 32$ легко считается.
$52 - (32 - 41) = 52 - 32 + 41 = 20 + 41 = 61$.
Ответ: 61

о) Вычитание в скобках дает круглое число 60 ($68 - 8 = 60$), поэтому вычисляем сначала в скобках.
$73 - (68 - 8) = 73 - 60 = 13$.
Ответ: 13

п) Раскроем скобки. Это позволяет сгруппировать $-25$ и $45$, что упрощает вычисление.
$-25 - (-45 + 19) = -25 - (-45) - 19 = -25 + 45 - 19 = (-25 + 45) - 19 = 20 - 19 = 1$.
Ответ: 1

3.184. Заключите два последних слагаемых в скобки двумя способами (со знаком «+» и со знаком «-» перед скобками):

а) $37 + 12 + 13;$

б) $45 - 2 - 12;$

в) $5 - 28 + 22;$

г) $76 + 38 - 52.$

Для решения этой задачи воспользуемся правилами раскрытия скобок, применяя их в обратном порядке — для заключения слагаемых в скобки.

1. Если перед скобками ставится знак «+», то знаки слагаемых, заключаемых в скобки, не меняются.

2. Если перед скобками ставится знак «–», то знаки слагаемых, заключаемых в скобки, меняются на противоположные.

Исходное выражение: $37 + 12 + 13$.Два последних слагаемых: $+12$ и $+13$.

Заключаем в скобки со знаком «+» перед ними (знаки не меняются):$37 + (12 + 13)$.

Заключаем в скобки со знаком «–» перед ними (знаки меняются на противоположные):$37 - (-12 - 13)$.

Ответ: $37 + (12 + 13)$; $37 - (-12 - 13)$.

Исходное выражение: $45 - 2 - 12$.Два последних слагаемых: $-2$ и $-12$.

Заключаем в скобки со знаком «+» перед ними (знаки не меняются):$45 + (-2 - 12)$.

Заключаем в скобки со знаком «–» перед ними (знаки меняются на противоположные):$45 - (2 + 12)$.

Ответ: $45 + (-2 - 12)$; $45 - (2 + 12)$.

Исходное выражение: $5 - 28 + 22$.Два последних слагаемых: $-28$ и $+22$.

Заключаем в скобки со знаком «+» перед ними (знаки не меняются):$5 + (-28 + 22)$.

Заключаем в скобки со знаком «–» перед ними (знаки меняются на противоположные):$5 - (28 - 22)$.

Ответ: $5 + (-28 + 22)$; $5 - (28 - 22)$.

Исходное выражение: $76 + 38 - 52$.Два последних слагаемых: $+38$ и $-52$.

Заключаем в скобки со знаком «+» перед ними (знаки не меняются):$76 + (38 - 52)$.

Заключаем в скобки со знаком «–» перед ними (знаки меняются на противоположные):$76 - (-38 + 52)$.

Ответ: $76 + (38 - 52)$; $76 - (-38 + 52)$.

3.185. Вычислите двумя способами (применяя и не применяя правила раскрытия скобок или заключения в скобки):

а) $48 - 19 - 1;$

б) $93 - 7 - 13;$

в) $48 - (28 - 43);$

г) $88 - (18 - 30).$

а) $48 - 19 - 1$

1-й способ (не применяя правило заключения в скобки, по действиям):
$48 - 19 - 1 = 29 - 1 = 28$.

2-й способ (применяя правило заключения в скобки):
$48 - 19 - 1 = 48 - (19 + 1) = 48 - 20 = 28$.

Ответ: 28

б) $93 - 7 - 13$

1-й способ (не применяя правило заключения в скобки, по действиям):
$93 - 7 - 13 = 86 - 13 = 73$.

2-й способ (применяя правило заключения в скобки):
$93 - 7 - 13 = 93 - (7 + 13) = 93 - 20 = 73$.

Ответ: 73

в) $48 - (28 - 43)$

1-й способ (не применяя правило раскрытия скобок):
Сначала вычисляем значение в скобках: $28 - 43 = -15$.
Затем выполняем вычитание: $48 - (-15) = 48 + 15 = 63$.

2-й способ (применяя правило раскрытия скобок):
Так как перед скобкой стоит знак «–», знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные:
$48 - (28 - 43) = 48 - 28 + 43 = 20 + 43 = 63$.

Ответ: 63

г) $88 - (18 - 30)$

1-й способ (не применяя правило раскрытия скобок):
Сначала вычисляем значение в скобках: $18 - 30 = -12$.
Затем выполняем вычитание: $88 - (-12) = 88 + 12 = 100$.

2-й способ (применяя правило раскрытия скобок):
Так как перед скобкой стоит знак «–», знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные:
$88 - (18 - 30) = 88 - 18 + 30 = 70 + 30 = 100$.

Ответ: 100

Вычислите, выбирая удобный способ (3.186–3.187):

3.186. a) $84 - (44 + 28);$

б) $94 - (44 + 26);$

в) $826 - (231 + 269);$

г) $728 - (328 - 179);$

д) $83 - 23 - 29;$

е) $83 - 21 - 29;$

ж) $236 - 136 - 92;$

з) $236 - 108 - 92.$

а) $84 - (44 + 28)$

Чтобы вычесть сумму из числа, можно из этого числа вычесть каждое слагаемое по очереди. Это свойство записывается формулой: $a - (b + c) = a - b - c$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$84 - (44 + 28) = 84 - 44 - 28 = 40 - 28 = 12$.

Ответ: 12

б) $94 - (44 + 26)$

Воспользуемся тем же свойством вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$.

$94 - (44 + 26) = 94 - 44 - 26 = 50 - 26 = 24$.

Ответ: 24

в) $826 - (231 + 269)$

В этом случае удобнее сначала выполнить действие в скобках, так как сумма чисел $231$ и $269$ дает круглое число.

$231 + 269 = 500$.

Теперь выполним вычитание:

$826 - 500 = 326$.

Ответ: 326

г) $728 - (328 - 179)$

Чтобы вычесть разность из числа, можно из этого числа вычесть уменьшаемое и к полученному результату прибавить вычитаемое: $a - (b - c) = a - b + c$.

Применим это правило:

$728 - (328 - 179) = 728 - 328 + 179 = 400 + 179 = 579$.

Ответ: 579

д) $83 - 23 - 29$

Здесь удобно выполнять вычитание по порядку, так как разность первых двух чисел является круглым числом.

$(83 - 23) - 29 = 60 - 29 = 31$.

Ответ: 31

е) $83 - 21 - 29$

В данном примере удобнее использовать свойство вычитания чисел из числа, сгруппировав вычитаемые: $a - b - c = a - (b + c)$.

$83 - (21 + 29) = 83 - 50 = 33$.

Ответ: 33

ж) $236 - 136 - 92$

Как и в примере д), удобно вычислять по порядку.

$(236 - 136) - 92 = 100 - 92 = 8$.

Ответ: 8

з) $236 - 108 - 92$

Здесь, как и в примере е), удобнее сгруппировать вычитаемые.

$236 - (108 + 92) = 236 - 200 = 36$.

Ответ: 36