Номер 3.216, страница 124 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки - номер 3.216, страница 124.

Условие.

3.216. Вороне как-то Бог послал кусочек сыра... Предположим, что, в отличие от героини известной басни, наша Ворона захотела разделить сыр поровну с Лисицей. Как она должна разрезать по прямой кусок сыра, если этот кусок имеет форму прямоугольника с круглой дыркой (рис. 67)? (Толщина куска сыра во всех местах одна и та же.)

Рис. 67

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы разделить кусок сыра на две равные по площади части одним прямолинейным разрезом, необходимо использовать свойство центральной симметрии. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит ее площадь пополам.

В нашей задаче кусок сыра представляет собой сложную фигуру — прямоугольник с круглым вырезом. Площадь этого куска сыра равна разности площадей прямоугольника и круга: $S_{сыра} = S_{прямоугольника} - S_{круга}$.

Рассмотрим обе фигуры по отдельности:

1. Прямоугольник. Это центрально-симметричная фигура. Его центр симметрии — это точка пересечения диагоналей. Любая прямая, проведенная через эту точку, разделит площадь прямоугольника на две равные части.
2. Круг. Это также центрально-симметричная фигура. Его центр симметрии — это его геометрический центр. Любая прямая, проведенная через центр круга, разделит его площадь на две равные части.

Чтобы разделить площадь сыра пополам, нужно провести разрез так, чтобы он одновременно разделил пополам и площадь исходного прямоугольника, и площадь круглого выреза. Прямая, обладающая таким свойством, должна проходить одновременно через центр симметрии прямоугольника и через центр симметрии круга.

Пусть $O_R$ — центр прямоугольника (точка пересечения его диагоналей), а $O_C$ — центр круглого отверстия. Проведем прямую через эти две точки $O_R$ и $O_C$.

Эта прямая разделит:

• площадь прямоугольника на две части, каждая площадью $\frac{S_{прямоугольника}}{2}$;
• площадь круга на две части, каждая площадью $\frac{S_{круга}}{2}$.

В результате каждая из двух получившихся частей сыра будет иметь площадь, равную:

$\frac{S_{прямоугольника}}{2} - \frac{S_{круга}}{2} = \frac{S_{прямоугольника} - S_{круга}}{2} = \frac{S_{сыра}}{2}$

Таким образом, обе части будут иметь одинаковую площадь.

Ответ: Ворона должна сделать прямой разрез, проходящий через две точки: центр прямоугольного куска сыра (точку пересечения его диагоналей) и центр круглого отверстия.