Номер 3.222, страница 126 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 3. Занимательные задачи. Глава 3. Целые числа - номер 3.222, страница 126.

Условие.

3.222. В строчку записаны несколько чисел так, что сумма любых трёх соседних чисел положительна. Можно ли утверждать, что сумма всех чисел положительна, если чисел:

а) 18;

б) 19;

в) 20?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Пусть дан ряд из 18 чисел: $a_1, a_2, \dots, a_{18}$.Нам нужно определить, будет ли их сумма $S_{18} = a_1 + a_2 + \dots + a_{18}$ всегда положительной.Поскольку количество чисел (18) делится на 3, мы можем сгруппировать все числа в тройки, не пересекающиеся между собой:$S_{18} = (a_1 + a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6) + \dots + (a_{16} + a_{17} + a_{18})$.Каждая из этих групп, например $(a_1 + a_2 + a_3)$ или $(a_4 + a_5 + a_6)$, является суммой трёх соседних (последовательных) чисел.По условию задачи, сумма любых трёх соседних чисел положительна.Следовательно, каждая из 6 скобок в выражении для $S_{18}$ является положительным числом.Сумма шести положительных чисел всегда будет положительным числом.Таким образом, можно утверждать, что сумма всех 18 чисел положительна.
Ответ: да, можно.

б)

Рассмотрим ряд из 19 чисел: $a_1, a_2, \dots, a_{19}$.Количество чисел (19) не делится на 3. Попробуем построить контрпример, то есть найти такую последовательность чисел, которая удовлетворяет условию задачи, но её общая сумма не является положительной.Рассмотрим последовательность, построенную на повторении блока из трёх чисел: $x, y, z$. Чтобы выполнялось условие задачи, достаточно, чтобы сумма чисел в блоке была положительной: $x+y+z > 0$.Пусть $x+y+z = 1$.Последовательность из 19 чисел будет состоять из 6 полных блоков $(x, y, z)$ и одного числа $x$ в конце.Сумма всех 19 чисел будет равна:$S_{19} = 6 \cdot (x+y+z) + x$.Подставив $x+y+z = 1$, получим $S_{19} = 6 \cdot 1 + x = 6+x$.Мы хотим, чтобы эта сумма была не положительной, то есть $S_{19} \le 0$.$6+x \le 0 \implies x \le -6$.Выберем $x = -7$.Теперь найдем $y$ и $z$ из условия $x+y+z=1$:$-7 + y + z = 1 \implies y+z=8$.Можно взять, например, $y=10$ и $z=-2$.Таким образом, мы получили блок чисел $(-7, 10, -2)$. Сумма этих чисел равна $1$, что больше нуля.Последовательность будет выглядеть так: $-7, 10, -2, -7, 10, -2, \dots, -7, 10, -2, -7$.Сумма любых трёх её соседних членов равна 1, так что условие задачи выполняется.При этом сумма всех 19 чисел равна $S_{19} = 6 \times 1 + (-7) = -1$.Сумма отрицательна. Следовательно, утверждать, что сумма всех чисел положительна, нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

в)

Рассмотрим ряд из 20 чисел: $a_1, a_2, \dots, a_{20}$.Количество чисел (20) не делится на 3. Как и в предыдущем пункте, построим контрпример.Возьмём периодическую последовательность с блоком из трёх чисел $x, y, z$, где $x+y+z > 0$.Последовательность из 20 чисел будет состоять из 6 полных блоков $(x, y, z)$ и первых двух чисел следующего блока: $x$ и $y$.Сумма всех 20 чисел будет равна:$S_{20} = 6 \cdot (x+y+z) + x + y$.Мы хотим найти такие $x, y, z$, чтобы $x+y+z>0$ и $S_{20} \le 0$.Пусть $x+y+z = \epsilon$, где $\epsilon$ — некоторое малое положительное число.Тогда $S_{20} = 6\epsilon + x+y$. Нам нужно, чтобы $6\epsilon + x+y \le 0$.Из $x+y+z=\epsilon$ следует, что $x+y = \epsilon-z$.Подставим это в неравенство: $6\epsilon + (\epsilon-z) \le 0 \implies 7\epsilon \le z$.Выберем $\epsilon = 1$. Тогда нам нужно, чтобы $z \ge 7$.Пусть $z=8$.Из $x+y+z=1$ получаем $x+y+8=1 \implies x+y=-7$.Можно взять, например, $x=3$ и $y=-10$.Получаем блок чисел $(3, -10, 8)$. Сумма этих чисел равна $1 > 0$.Последовательность: $3, -10, 8, 3, -10, 8, \dots$. Сумма любых трёх соседних членов равна 1.Сумма всех 20 чисел равна $S_{20} = 6 \times 1 + 3 + (-10) = 6 - 7 = -1$.Сумма отрицательна. Следовательно, и в этом случае утверждать, что сумма всех чисел положительна, нельзя.
Ответ: нет, нельзя.