Номер 3.217, страница 126 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Занимательные задачи - номер 3.217, страница 126.

Условие.

3.217. Запишите в строчку 5 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим пять искомых чисел как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$.

Согласно условию задачи, должны выполняться следующие неравенства:

1. Сумма любых двух соседних чисел положительна:

$a_1 + a_2 > 0$

$a_2 + a_3 > 0$

$a_3 + a_4 > 0$

$a_4 + a_5 > 0$

2. Сумма всех чисел отрицательна:

$S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 < 0$

Для того чтобы общая сумма была отрицательной, как минимум одно из чисел должно быть отрицательным. Если все числа будут положительными, их сумма также будет положительной. Рассмотрим вариант, когда числа в строчке чередуются по знаку.

Попробуем следующую структуру: три отрицательных числа на нечетных позициях и два положительных числа на четных позициях. Пусть $a_1, a_3, a_5$ будут отрицательными, а $a_2, a_4$ — положительными.

Чтобы сумма соседних чисел была положительной, каждое положительное число должно быть по модулю больше любого из своих отрицательных соседей. То есть:

$a_2 > |a_1|$ и $a_2 > |a_3|$

$a_4 > |a_3|$ и $a_4 > |a_5|$

Чтобы общая сумма всех чисел была отрицательной, сумма модулей всех отрицательных чисел должна быть больше суммы всех положительных чисел:

$|a_1| + |a_3| + |a_5| > a_2 + a_4$

Теперь подберем конкретные значения, удовлетворяющие этим условиям.

Пусть положительные числа будут $a_2 = 11$ и $a_4 = 11$.

Тогда для отрицательных чисел должны выполняться условия:

$11 > |a_1|$, $11 > |a_3|$, $11 > |a_5|$

И при этом $|a_1| + |a_3| + |a_5| > 11 + 11 = 22$.

Мы можем выбрать, например, $a_1 = -10, a_3 = -10, a_5 = -10$.

Проверим эти значения:

$11 > |-10|$ — верно.

$|-10| + |-10| + |-10| = 30$, и $30 > 22$ — тоже верно.

Таким образом, мы получили последовательность чисел: $-10, 11, -10, 11, -10$.

Проверим, соответствует ли эта последовательность условиям задачи:

1. Проверка сумм соседних чисел:

$a_1 + a_2 = -10 + 11 = 1 > 0$

$a_2 + a_3 = 11 + (-10) = 1 > 0$

$a_3 + a_4 = -10 + 11 = 1 > 0$

$a_4 + a_5 = 11 + (-10) = 1 > 0$

Все суммы соседних чисел положительны.

2. Проверка суммы всех чисел:

$S = -10 + 11 + (-10) + 11 + (-10) = 1 + 1 - 10 = -8$

Сумма всех чисел отрицательна ($-8 < 0$).

Оба условия выполнены. Существует множество других решений, например: $5, -7, 5, -7, 5$. Проверим его: $5+(-7)=-2$, что не удовлетворяет условию. Другой пример: $5, -4, 5, -4, 5$. Сумма соседних $5+(-4)=1>0$. Сумма всех чисел $5-4+5-4+5=7>0$, не подходит. Пример, который подходит: $-4, 6, -5, 6, -4$. Суммы соседних: $2, 1, 1, 2$ (все $>0$). Сумма всех: $-4+6-5+6-4 = -1 < 0$.

Ответ: Например, такая строчка чисел: $-10, 11, -10, 11, -10$.