Номер 3.223, страница 126 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Занимательные задачи - номер 3.223, страница 126.

Условие.

3.223. В непрозрачном мешке лежат 10 белых и 5 чёрных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них было 2 шара:

а) белых;

б) чёрных;

в) разных цветов;

г) одного цвета?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

В этой задаче мы будем использовать принцип наихудшего случая, чтобы найти минимальное количество шаров, которое нужно вынуть для гарантии определённого результата. В мешке 10 белых и 5 чёрных шаров.

а) белых;
Чтобы гарантированно вынуть 2 белых шара, нужно рассмотреть самый неблагоприятный сценарий. В худшем случае мы сначала будем вытаскивать все шары другого цвета, то есть все 5 чёрных шаров. После того как мы вынем 5 чёрных шаров, в мешке останутся только белые. Следовательно, следующие два шара, которые мы вынем, обязательно будут белыми.
Таким образом, наименьшее число шаров, которое нужно вынуть, равно сумме всех чёрных шаров и требуемого количества белых шаров:
$5 \text{ (чёрных)} + 2 \text{ (белых)} = 7$ шаров.
Ответ: 7

б) чёрных;
Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим наихудший сценарий для получения 2 чёрных шаров. В этом случае мы сначала вытащим все шары другого цвета, то есть все 10 белых шаров. После этого в мешке останутся только чёрные. Чтобы получить 2 чёрных шара, нам нужно вынуть ещё 2 шара, и они гарантированно будут чёрными.
Следовательно, наименьшее число шаров, которое нужно вынуть, равно:
$10 \text{ (белых)} + 2 \text{ (чёрных)} = 12$ шаров.
Ответ: 12

в) разных цветов;
Чтобы гарантированно вынуть 2 шара разных цветов (то есть хотя бы один белый и один чёрный), нужно рассмотреть наихудший сценарий. Худший случай — это когда мы вытаскиваем максимально возможное количество шаров одного цвета, прежде чем попадётся шар другого цвета. Мы должны выбрать цвет, шаров которого больше всего, — в данном случае это белый (10 шаров).
Итак, в худшем случае мы вынем все 10 белых шаров. Следующий, 11-й шар, который мы вытащим, обязательно будет чёрным, так как белых шаров в мешке не осталось. Таким образом, после извлечения 11 шаров у нас будет 10 белых и 1 чёрный, что удовлетворяет условию.
$10 \text{ (максимальное количество шаров одного цвета)} + 1 = 11$ шаров.
Ответ: 11

г) одного цвета?
Чтобы гарантированно вынуть 2 шара одного цвета (либо 2 белых, либо 2 чёрных), воспользуемся принципом Дирихле. В данном случае у нас есть 2 "ящика" — это цвета (белый и чёрный).
В худшем случае, чтобы не получить пару одного цвета, мы вынем по одному шару каждого цвета. То есть, первый шар будет, например, белым, а второй — чёрным. После того как мы вынули 2 шара (по одному каждого цвета), третий шар, который мы вынем, неизбежно будет либо белым (и составит пару с первым белым), либо чёрным (и составит пару со вторым чёрным).
Таким образом, достаточно вынуть 3 шара, чтобы среди них гарантированно нашлись два шара одного цвета.
$2 \text{ (количество цветов)} + 1 = 3$ шара.
Ответ: 3