Номер 3.221, страница 126 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Занимательные задачи - номер 3.221, страница 126.

Условие.

3.221. Можно ли расставить в клетках таблицы, состоящей из трёх строк и четырёх столбцов, целые числа так, чтобы сумма чисел:

а) в каждой строке была равна $-20$, а в каждом столбце $-15$;

б) в каждой строке была равна $-20$, а в каждом столбце $-16$;

в) в каждой строке была положительной, а в каждом столбце — отрицательной?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Да, можно. Чтобы определить, возможно ли это, нужно проверить, совпадает ли общая сумма всех чисел в таблице, посчитанная по строкам, с суммой, посчитанной по столбцам.

Сумма всех чисел, если считать по строкам (3 строки, сумма в каждой -20):
$S_{строк} = 3 \times (-20) = -60$.

Сумма всех чисел, если считать по столбцам (4 столбца, сумма в каждом -15):
$S_{столбцов} = 4 \times (-15) = -60$.

Так как $S_{строк} = S_{столбцов}$, такое расположение чисел возможно. Простейший пример — заполнить все ячейки таблицы одним и тем же числом $x$. Тогда сумма в каждой строке будет $4x$, а в каждом столбце — $3x$. Из условий задачи получаем:

$4x = -20 \Rightarrow x = -5$

$3x = -15 \Rightarrow x = -5$

Поскольку значение $x$ совпадает, можно заполнить все ячейки числом -5. Вот пример такой таблицы:

-5	-5	-5	-5
-5	-5	-5	-5
-5	-5	-5	-5

В этой таблице сумма чисел в каждой строке равна $4 \times (-5) = -20$, а сумма чисел в каждом столбце равна $3 \times (-5) = -15$.

Ответ: да, можно.

б)

Нет, нельзя. Вычислим общую сумму всех чисел в таблице двумя способами, как и в предыдущем пункте.

Сумма по строкам (3 строки, сумма в каждой -20):
$S_{строк} = 3 \times (-20) = -60$.

Сумма по столбцам (4 столбца, сумма в каждом -16):
$S_{столбцов} = 4 \times (-16) = -64$.

Сумма всех элементов таблицы, вычисленная по строкам ($-60$), не равна сумме, вычисленной по столбцам ($-64$). Это является противоречием, так как общая сумма всех чисел в таблице должна быть одной и той же, независимо от способа подсчета. Следовательно, расставить числа требуемым образом невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

в)

Нет, нельзя. Пусть $S$ — это общая сумма всех чисел в таблице. Рассмотрим эту сумму с двух точек зрения.

1. Суммирование по строкам. По условию, сумма чисел в каждой из трёх строк является положительной. Так как все числа в таблице целые, то и их сумма в каждой строке — целое число. Минимальное положительное целое число — это 1. Таким образом, сумма в каждой строке не меньше 1. Тогда общая сумма всех чисел в таблице:
$S = (\text{сумма 1-й строки}) + (\text{сумма 2-й строки}) + (\text{сумма 3-й строки}) \ge 1 + 1 + 1 = 3$.
Значит, общая сумма $S$ должна быть положительным числом.

2. Суммирование по столбцам. По условию, сумма чисел в каждом из четырёх столбцов является отрицательной. Поскольку числа целые, сумма в каждом столбце — целое отрицательное число, то есть не больше -1. Тогда общая сумма всех чисел в таблице:
$S = (\text{сумма 1-го столбца}) + ... + (\text{сумма 4-го столбца}) \le (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4$.
Значит, общая сумма $S$ должна быть отрицательным числом.

Мы пришли к противоречию: общая сумма всех чисел $S$ должна быть одновременно положительной ($S \ge 3$) и отрицательной ($S \le -4$), что невозможно. Следовательно, так расставить числа нельзя.

Ответ: нет, нельзя.