Номер 3.240, страница 129 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Занимательные задачи - номер 3.240, страница 129.

Условие.

3.240. Первый землекоп выкопает яму за 20 ч, а второй — за 24 ч. За сколько часов совместной работы они выкопают яму, если при совместной работе производительность труда каждого из них повышается на $ \frac{1}{11} $?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи примем всю работу (выкопать одну яму) за 1. Производительность труда — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

1. Определим первоначальную производительность каждого землекопа.
Производительность первого землекопа ($P_1$), который выполняет всю работу за 20 часов, составляет:
$P_1 = \frac{1}{20}$ ямы/час.
Производительность второго землекопа ($P_2$), который выполняет всю работу за 24 часа, составляет:
$P_2 = \frac{1}{24}$ ямы/час.

2. Рассчитаем новую производительность каждого землекопа с учетом ее повышения.
По условию, при совместной работе производительность каждого из них повышается на $\frac{1}{11}$ от их первоначальной производительности.
Новая производительность первого землекопа ($P_{1\_нов}$):
$P_{1\_нов} = P_1 + P_1 \cdot \frac{1}{11} = P_1 \cdot (1 + \frac{1}{11}) = \frac{1}{20} \cdot \frac{12}{11} = \frac{12}{220} = \frac{3}{55}$ ямы/час.
Новая производительность второго землекопа ($P_{2\_нов}$):
$P_{2\_нов} = P_2 + P_2 \cdot \frac{1}{11} = P_2 \cdot (1 + \frac{1}{11}) = \frac{1}{24} \cdot \frac{12}{11} = \frac{12}{264} = \frac{1}{22}$ ямы/час.

3. Найдем общую производительность при совместной работе.
Общая производительность ($P_{общ}$) равна сумме их новых производительностей:
$P_{общ} = P_{1\_нов} + P_{2\_нов} = \frac{3}{55} + \frac{1}{22}$.
Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 55 и 22 — это 110.
$P_{общ} = \frac{3 \cdot 2}{55 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{22 \cdot 5} = \frac{6}{110} + \frac{5}{110} = \frac{11}{110} = \frac{1}{10}$ ямы/час.

4. Определим время, за которое они выкопают яму вместе.
Время ($t$) находится делением всей работы на общую производительность:
$t = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10$ часов.

Ответ: 10 часов.