Номер 3.231, страница 127 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Занимательные задачи - номер 3.231, страница 127.

Условие.

3.23. Решите предыдущую задачу для:

а) четырёх мешков;

б) пяти мешков;

в) десяти мешков.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Поскольку условие предыдущей задачи не приведено, будем исходить из наиболее распространенной версии подобной задачи: имеется N мешков с монетами, в одном из которых монеты фальшивые (легче настоящих). Требуется найти этот мешок с помощью чашечных весов без гирь за минимальное число взвешиваний.Общий принцип решения: каждое взвешивание на чашечных весах имеет три исхода (левая чаша легче, правая чаша легче, равновесие). Поэтому за $k$ взвешиваний можно различить не более $3^k$ ситуаций. Чтобы найти один "неправильный" мешок из $N$, необходимое число взвешиваний $k$ должно удовлетворять неравенству $3^k \ge N$.

а) четырёх мешков

В случае с четырьмя мешками ($N=4$), нам нужно найти минимальное целое число $k$, для которого $3^k \ge 4$.При $k=1$, $3^1 = 3$, что меньше 4. Следовательно, одного взвешивания недостаточно.При $k=2$, $3^2 = 9$, что больше 4. Значит, двух взвешиваний должно хватить.

Приведем алгоритм взвешиваний. Пронумеруем мешки от 1 до 4.

Взвешивание 1: Положим на левую чашу весов монеты из мешка 1, а на правую — из мешка 2.

Случай 1: Весы в равновесии ($1 = 2$).Это означает, что мешки 1 и 2 содержат настоящие монеты. Фальшивый мешок — либо 3, либо 4. Чтобы определить, какой именно, проводим второе взвешивание.

Взвешивание 2 (для случая 1): Убираем мешок 2 с весов и на его место кладем монеты из мешка 3. То есть сравниваем мешок 1 (заведомо настоящий) с мешком 3.

• Если левая чаша перевесит ($1 > 3$), значит, в мешке 3 монеты легче. Фальшивый мешок — №3.
• Если весы останутся в равновесии ($1 = 3$), значит, мешок 3 тоже настоящий. Следовательно, фальшивый — мешок №4.

Случай 2: Левая чаша легче правой ($1 < 2$).Это сразу указывает на то, что в мешке 1 находятся фальшивые, более легкие монеты. Фальшивый мешок — №1. Задача решена за одно взвешивание.

Случай 3: Правая чаша легче левой ($1 > 2$).Это означает, что в мешке 2 находятся фальшивые монеты. Фальшивый мешок — №2. Задача также решена за одно взвешивание.

В худшем случае (случай 1) для нахождения фальшивого мешка требуется два взвешивания.

Ответ: 2.

б) пяти мешков

Для пяти мешков ($N=5$) неравенство $3^k \ge 5$ также выполняется при $k=2$ ($3^2=9 \ge 5$). Значит, двух взвешиваний должно быть достаточно. Пронумеруем мешки от 1 до 5.

Взвешивание 1: Положим на левую чашу весов монеты из мешка 1 и 2, а на правую — из мешка 3 и 4. Мешок 5 оставим в стороне.

Случай 1: Весы в равновесии.Это означает, что все мешки на весах (1, 2, 3, 4) содержат настоящие монеты. Следовательно, фальшивый мешок — тот, что остался в стороне, то есть №5. Задача решена за одно взвешивание.

Случай 2: Левая чаша легче правой.Это означает, что фальшивый мешок находится среди тех, что на левой чаше, то есть это либо мешок 1, либо мешок 2. Для определения проводим второе взвешивание.

Взвешивание 2 (для случая 2): Сравниваем мешок 1 и мешок 2.

• Если левая чаша легче ($1 < 2$), фальшивый мешок — №1.
• Если правая чаша легче ($1 > 2$), фальшивый мешок — №2.

Случай 3: Правая чаша легче левой.Фальшивый мешок — либо 3, либо 4. Второе взвешивание (мешок 3 против мешка 4) аналогично покажет, какой из них фальшивый.

Таким образом, и в этом случае двух взвешиваний достаточно для гарантированного определения фальшивого мешка.

Ответ: 2.

в) десяти мешков

Для десяти мешков ($N=10$) ищем минимальное $k$, такое что $3^k \ge 10$.При $k=2$, $3^2 = 9$, что меньше 10. Двух взвешиваний недостаточно.При $k=3$, $3^3 = 27$, что больше 10. Трех взвешиваний должно хватить.

Пронумеруем мешки от 1 до 10. Разделим их на три группы: {1, 2, 3}, {4, 5, 6} и {7, 8, 9, 10}.

Взвешивание 1: Сравниваем первую группу со второй: на левую чашу кладем монеты из мешков {1, 2, 3}, на правую — из мешков {4, 5, 6}.

Случай 1: Весы в равновесии.Это означает, что все мешки на весах (с 1 по 6) настоящие. Фальшивый мешок находится в третьей группе {7, 8, 9, 10}. У нас осталось 4 мешка-кандидата. Эта задача сводится к пункту а), для решения которой требуется еще два взвешивания.

• Взвешивание 2: Сравниваем мешок 7 и 8. Если равновесие, фальшивый — 9 или 10. Если нет — тот, что легче.
• Взвешивание 3 (если на 2-м шаге было равновесие): Сравниваем мешок 9 с заведомо настоящим (например, мешком 1). Если 9 легче, то он фальшивый. Если равновесие — фальшивый мешок 10.

Всего в этом сценарии потребуется 3 взвешивания.

Случай 2: Левая чаша легче правой.Фальшивый мешок находится в первой группе {1, 2, 3}. У нас осталось 3 кандидата.

Взвешивание 2 (для случая 2): Сравниваем мешок 1 и мешок 2.

• Если левая чаша легче ($1 < 2$), фальшивый — №1.
• Если правая чаша легче ($1 > 2$), фальшивый — №2.
• Если весы в равновесии ($1 = 2$), фальшивый — №3.

В этом сценарии потребовалось всего 2 взвешивания.

Случай 3: Правая чаша легче левой.Ситуация аналогична случаю 2, фальшивый мешок находится в группе {4, 5, 6} и определяется за одно дополнительное взвешивание.

Максимальное количество взвешиваний, которое может понадобиться, — три (в худшем случае 1).

Ответ: 3.