Страница 70 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 29

2.157. а) На окружности отметили 6 точек (рис. 29). Сколько получится отрезков, если соединить каждую точку с каждой?

б) Встретились шесть друзей, каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?

а)

Чтобы найти количество отрезков, нужно определить, сколько уникальных пар точек можно составить из 6 имеющихся. Порядок точек в паре не важен (отрезок AB — это то же самое, что и BA). Это задача на нахождение числа сочетаний.

Решение 1: Метод последовательного подсчета.
Из первой точки можно провести 5 отрезков к остальным 5 точкам.
Из второй точки можно провести 4 новых отрезка (так как отрезок к первой точке уже учтён).
Из третьей точки — 3 новых отрезка.
Из четвертой — 2 новых отрезка.
Из пятой — 1 новый отрезок.
Шестая точка уже будет соединена со всеми предыдущими.
Общее количество отрезков равно сумме: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

Решение 2: Использование комбинаторной формулы.
Количество отрезков можно найти по формуле для числа сочетаний $C_n^k$, где $n$ — общее число точек ($n=6$), а $k$ — число точек, образующих отрезок ($k=2$).

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Также можно использовать упрощенную формулу для нахождения количества пар: $\frac{n(n-1)}{2}$.
Количество отрезков = $\frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Ответ: 15.

б)

Эта задача математически эквивалентна предыдущей. Каждое рукопожатие происходит между двумя людьми, и порядок не важен (если Алёша пожал руку Вове, это то же самое рукопожатие, что и Вова пожал руку Алёше). Нам нужно найти общее количество уникальных пар друзей из шести.

Решение 1: Метод последовательного подсчета.
Первый друг пожимает руку 5 другим друзьям.
Второй друг уже пожал руку первому, поэтому он совершает рукопожатие с 4 оставшимися.
Третий — с 3 оставшимися.
Четвертый — с 2 оставшимися.
Пятый — с 1 оставшимся.
Шестой друг уже обменялся рукопожатиями со всеми.
Общее количество рукопожатий: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

Решение 2: Использование комбинаторной формулы.
Пусть $n$ — количество друзей, $n=6$. Количество рукопожатий равно числу сочетаний из 6 по 2.

Количество рукопожатий = $C_6^2 = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.

Ответ: 15.

2.158. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?

Чтобы найти общее количество партий в турнире, где каждый из 8 друзей играет с каждым другим ровно один раз, нам нужно вычислить количество всех возможных уникальных пар игроков. Каждая такая пара соответствует одной партии. Порядок игроков в паре не имеет значения (партия между другом А и другом Б — это то же самое, что и партия между другом Б и другом А).

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Логический подсчет

Рассмотрим каждого друга по очереди:

- Первый друг сыграет с 7 остальными друзьями. Это 7 партий.
- Второй друг уже сыграл с первым, поэтому ему нужно сыграть с 6 оставшимися друзьями. Это 6 новых партий.
- Третий друг уже сыграл с первым и вторым, ему остаётся сыграть с 5 друзьями. Это 5 новых партий.
- Четвертый друг сыграет с 4 оставшимися друзьями. Это 4 новые партии.
- Пятый друг сыграет с 3 оставшимися. Это 3 новые партии.
- Шестой друг сыграет с 2 оставшимися. Это 2 новые партии.
- Седьмой друг сыграет с последним, восьмым другом. Это 1 новая партия.
- Восьмой друг к этому моменту уже сыграл со всеми.

Теперь сложим количество всех уникальных партий:

$7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 8 элементов по 2, поскольку каждая партия — это выбор двух игроков из восьми без учета порядка. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число друзей $n=8$, а в каждой партии участвуют $k=2$ человека. Подставим эти значения в формулу:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 1 \cdot 6!}$

Сократив $6!$ в числителе и знаменателе, получаем:

$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 28

ИССЛЕДУЕМ

2.159. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Вася Угрюмов был не в духе и пожал руку не всем своим приятелям. Всего было 13 рукопожатий. Скольким приятелям Вася пожал руку?

Пусть общее количество приятелей равно $n$. В эту группу входит и Вася.

Если бы все $n$ приятелей обменялись рукопожатиями друг с другом, то общее число рукопожатий вычислялось бы по формуле числа сочетаний из $n$ по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

В задаче сказано, что все, кроме Васи, пожали руки всем. Это значит, что группа из $(n-1)$ приятелей совершила все возможные рукопожатия между собой. Количество рукопожатий в этой группе равно $C_{n-1}^2 = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$.

Пусть $k$ — это количество приятелей, которым Вася пожал руку. По условию, Вася пожал руку не всем, значит $k < n-1$.

Общее число рукопожатий равно сумме рукопожатий в группе из $(n-1)$ человек и рукопожатий, которые сделал Вася. По условию, это число равно 13.

Составим уравнение: $\frac{(n-1)(n-2)}{2} + k = 13$.

Поскольку количество рукопожатий $k$ не может быть отрицательным ($k \ge 0$), то число рукопожатий в группе без Васи не должно превышать 13, то есть $\frac{(n-1)(n-2)}{2} \le 13$. Будем подбирать натуральное число $n > 1$, чтобы найти решение.

Проверим возможные значения $n$:

- При $n=5$: количество рукопожатий в группе без Васи равно $\frac{(5-1)(5-2)}{2} = 6$. Тогда $6 + k = 13$, откуда $k=7$. Но у Васи всего $n-1=4$ приятеля, поэтому он не мог пожать 7 рук. Этот вариант не подходит.

- При $n=6$: количество рукопожатий в группе без Васи равно $\frac{(6-1)(6-2)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$. Тогда $10 + k = 13$, откуда $k=3$. У Васи $n-1=5$ приятелей. Условие $k < n-1$ (то есть $3 < 5$) выполняется, так как он пожал руку не всем. Этот вариант является решением.

- При $n=7$: количество рукопожатий в группе без Васи равно $\frac{(7-1)(7-2)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$. Это уже больше общего числа рукопожатий (13), поэтому этот и все последующие варианты не подходят.

Таким образом, единственно возможный вариант — это когда всего было 6 приятелей. Пятеро из них (без Васи) совершили между собой 10 рукопожатий, а Вася совершил оставшиеся $13 - 10 = 3$ рукопожатия.

Ответ: 3.

2.160. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Петя Веселов был так рад встрече, что дважды пожал руку некоторым из своих приятелей (но не всем). Всего было $b$ рукопожатий. Скольким приятелям Петя пожал руку дважды? Решите задачу, если:

а) $b=17$;

б) $b=18$;

в) $b=19$.

Пусть $n$ — общее число приятелей, включая Петю. Если бы все обменялись рукопожатиями ровно по одному разу, общее количество рукопожатий было бы равно числу сочетаний из $n$ по 2, то есть $\frac{n(n-1)}{2}$.

Пусть $k$ — это количество приятелей, которым Петя пожал руку дважды. Эти $k$ рукопожатий являются дополнительными к стандартному числу. Таким образом, общее число рукопожатий $b$ можно выразить формулой: $b = \frac{n(n-1)}{2} + k$.

По условию задачи, Петя пожал руку дважды некоторым, но не всем своим приятелям. Всего у Пети $n-1$ приятелей. Следовательно, для $k$ должно выполняться строгое неравенство: $0 < k < n-1$.

Наша задача — для каждого значения $b$ найти такие целые числа $n$ и $k$, которые удовлетворяют уравнению и неравенству.

а) $b=17$

Ищем натуральные числа $n$ и $k$, удовлетворяющие уравнению $17 = \frac{n(n-1)}{2} + k$ и условию $0 < k < n-1$.

Начнем перебор возможных значений $n$, при которых стандартное число рукопожатий $\frac{n(n-1)}{2}$ меньше 17.

При $n=5$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 17 - 10 = 7$. У Пети $n-1=4$ приятеля. Условие $0 < k < 4$ не выполняется, так как $7 > 4$.

При $n=6$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 17 - 15 = 2$. У Пети $n-1=5$ приятелей. Проверяем условие: $0 < 2 < 5$. Неравенство верное, значит, этот случай является решением.

При $n=7$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{7(6)}{2} = 21$, что уже больше 17. Дальнейший перебор не имеет смысла.

Единственное решение: всего было 6 приятелей, и Петя пожал руку дважды двоим из них.

Ответ: 2.

б) $b=18$

Ищем натуральные числа $n$ и $k$, удовлетворяющие уравнению $18 = \frac{n(n-1)}{2} + k$ и условию $0 < k < n-1$.

Проверим возможные значения $n$, при которых $\frac{n(n-1)}{2} < 18$.

При $n=5$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 18 - 10 = 8$. У Пети $n-1=4$ приятеля. Условие $0 < k < 4$ не выполняется, так как $8 > 4$.

При $n=6$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 18 - 15 = 3$. У Пети $n-1=5$ приятелей. Проверяем условие: $0 < 3 < 5$. Неравенство верное, значит, это решение.

При $n=7$, стандартное число рукопожатий $\frac{7(6)}{2} = 21$, что больше 18.

Таким образом, всего было 6 приятелей, и Петя пожал руку дважды троим из них.

Ответ: 3.

в) $b=19$

Ищем натуральные числа $n$ и $k$, удовлетворяющие уравнению $19 = \frac{n(n-1)}{2} + k$ и условию $0 < k < n-1$.

Проверим возможные значения $n$, при которых $\frac{n(n-1)}{2} < 19$.

При $n=5$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 19 - 10 = 9$. У Пети $n-1=4$ приятеля. Условие $0 < k < 4$ не выполняется, так как $9 > 4$.

При $n=6$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 19 - 15 = 4$. У Пети $n-1=5$ приятелей. Проверяем условие: $0 < 4 < 5$. Неравенство верное, это является решением.

При $n=7$, стандартное число рукопожатий $\frac{7(6)}{2} = 21$, что больше 19.

Следовательно, всего было 6 приятелей, и Петя пожал руку дважды четверым из них.

Ответ: 4.

2.161. Постройте многоугольник, имеющий n сторон, если:

а) n = 4;

б) n = 5;

в) n = 6;

г) n = 7;

д) n = 8.

В каждом случае проведите все диагонали многоугольника.

Объясните, почему число d всех диагоналей многоугольника

вычисляется по формуле $d = \frac{n(n-3)}{2}$.

а) n=4

Для многоугольника с 4 сторонами (четырехугольника) можно провести 2 диагонали. Каждая диагональ соединяет пару противоположных вершин. Проверим по формуле: $d = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$.

Ответ: 2 диагонали.

б) n=5

Для многоугольника с 5 сторонами (пятиугольника) из каждой вершины можно провести $5-3=2$ диагонали. Всего диагоналей будет 5. Проверим по формуле: $d = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.

Ответ: 5 диагоналей.

в) n=6

Для многоугольника с 6 сторонами (шестиугольника) из каждой вершины выходит $6-3=3$ диагонали. Всего диагоналей будет 9. Проверим по формуле: $d = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$.

Ответ: 9 диагоналей.

г) n=7

Для многоугольника с 7 сторонами (семиугольника) из каждой вершины выходит $7-3=4$ диагонали. Всего диагоналей будет 14. Проверим по формуле: $d = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$.

Ответ: 14 диагоналей.

д) n=8

Для многоугольника с 8 сторонами (восьмиугольника) из каждой вершины выходит $8-3=5$ диагоналей. Всего диагоналей будет 20. Проверим по формуле: $d = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$.

Ответ: 20 диагоналей.

Объяснение, почему число d всех диагоналей многоугольника вычисляется по формуле $d = \frac{n(n-3)}{2}$

Рассмотрим многоугольник, у которого $n$ вершин.

1. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Возьмем одну любую вершину. Из нее можно провести отрезки ко всем остальным вершинам, которых $n-1$.

2. Среди этих отрезков два будут сторонами многоугольника (они соединяют выбранную вершину с двумя соседними), а остальные — диагоналями. Также, отрезок нельзя провести к самой вершине.

3. Таким образом, из одной вершины нельзя провести диагональ к трем вершинам: к самой себе и к двум соседним. Следовательно, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

4. Так как в многоугольнике $n$ вершин, то если мы умножим количество вершин на число диагоналей, выходящих из каждой, получим $n \cdot (n-3)$.

5. В этом произведении каждая диагональ посчитана дважды. Например, диагональ, соединяющая вершину A и вершину C, была учтена и как выходящая из A, и как выходящая из C. Чтобы получить истинное число уникальных диагоналей, результат нужно разделить на 2.

В итоге мы приходим к формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2}$.

Ответ: Формула получается из того, что из каждой из $n$ вершин можно провести $n-3$ диагонали, а чтобы не считать каждую диагональ дважды (для каждой из двух ее вершин), полученное произведение $n(n-3)$ делится на 2.

2.162. Аня нарисовала многоугольник и провела 20 диагоналей. Ей осталось провести меньше половины всех диагоналей этого многоугольника. Сколько диагоналей ей осталось провести?

Пусть $n$ – количество вершин в многоугольнике, который нарисовала Аня, а $D$ – общее количество диагоналей в этом многоугольнике.

Общее количество диагоналей для многоугольника с $n$ вершинами вычисляется по формуле:$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Из условия задачи известно, что Аня провела 20 диагоналей. Обозначим количество диагоналей, которые ей осталось провести, как $d_{ост}$. Тогда общее число диагоналей в многоугольнике равно сумме уже проведенных и оставшихся диагоналей:$D = 20 + d_{ост}$

Также в условии сказано, что количество оставшихся диагоналей составляет меньше половины от их общего числа. Это можно записать в виде неравенства:$d_{ост} < \frac{D}{2}$

Теперь мы можем использовать эти соотношения для нахождения возможных значений $D$. Подставим выражение $d_{ост} = D - 20$ в неравенство:$D - 20 < \frac{D}{2}$

Решим это неравенство относительно $D$:$D - \frac{D}{2} < 20$$\frac{D}{2} < 20$$D < 40$

Кроме того, поскольку Аня уже провела 20 диагоналей, общее их число не может быть меньше 20, то есть $D \ge 20$.

Итак, мы ищем такой многоугольник, у которого общее число диагоналей $D$ удовлетворяет двойному неравенству $20 \le D < 40$. Найдем все возможные целочисленные значения $D$, которые могут быть получены по формуле для числа диагоналей. Для этого будем перебирать количество вершин $n$, начиная с $n=4$:

• При $n=8$: $D = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$. Это значение удовлетворяет условию $20 \le 20 < 40$.
• При $n=9$: $D = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27$. Это значение удовлетворяет условию $20 \le 27 < 40$.
• При $n=10$: $D = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$. Это значение удовлетворяет условию $20 \le 35 < 40$.
• При $n=11$: $D = \frac{11(11-3)}{2} = \frac{11 \cdot 8}{2} = 44$. Это значение больше 40, поэтому дальнейший перебор не имеет смысла.

Мы получили три возможных варианта для многоугольника, который могла нарисовать Аня. Теперь для каждого варианта найдем, сколько диагоналей ей осталось провести, используя формулу $d_{ост} = D - 20$:

1. Если это был восьмиугольник, то $D=20$. Тогда осталось провести: $d_{ост} = 20 - 20 = 0$ диагоналей.
2. Если это был девятиугольник, то $D=27$. Тогда осталось провести: $d_{ост} = 27 - 20 = 7$ диагоналей.
3. Если это был десятиугольник, то $D=35$. Тогда осталось провести: $d_{ост} = 35 - 20 = 15$ диагоналей.

Все три варианта являются решением задачи, так как удовлетворяют всем указанным условиям.

Ответ: 0, 7 или 15.