Номер 2.161, страница 70 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.161, страница 70.

Условие.

2.161. Постройте многоугольник, имеющий n сторон, если:

а) n = 4;

б) n = 5;

в) n = 6;

г) n = 7;

д) n = 8.

В каждом случае проведите все диагонали многоугольника.

Объясните, почему число d всех диагоналей многоугольника

вычисляется по формуле $d = \frac{n(n-3)}{2}$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) n=4

Для многоугольника с 4 сторонами (четырехугольника) можно провести 2 диагонали. Каждая диагональ соединяет пару противоположных вершин. Проверим по формуле: $d = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$.

Ответ: 2 диагонали.

б) n=5

Для многоугольника с 5 сторонами (пятиугольника) из каждой вершины можно провести $5-3=2$ диагонали. Всего диагоналей будет 5. Проверим по формуле: $d = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.

Ответ: 5 диагоналей.

в) n=6

Для многоугольника с 6 сторонами (шестиугольника) из каждой вершины выходит $6-3=3$ диагонали. Всего диагоналей будет 9. Проверим по формуле: $d = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$.

Ответ: 9 диагоналей.

г) n=7

Для многоугольника с 7 сторонами (семиугольника) из каждой вершины выходит $7-3=4$ диагонали. Всего диагоналей будет 14. Проверим по формуле: $d = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$.

Ответ: 14 диагоналей.

д) n=8

Для многоугольника с 8 сторонами (восьмиугольника) из каждой вершины выходит $8-3=5$ диагоналей. Всего диагоналей будет 20. Проверим по формуле: $d = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$.

Ответ: 20 диагоналей.

Объяснение, почему число d всех диагоналей многоугольника вычисляется по формуле $d = \frac{n(n-3)}{2}$

Рассмотрим многоугольник, у которого $n$ вершин.

1. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Возьмем одну любую вершину. Из нее можно провести отрезки ко всем остальным вершинам, которых $n-1$.

2. Среди этих отрезков два будут сторонами многоугольника (они соединяют выбранную вершину с двумя соседними), а остальные — диагоналями. Также, отрезок нельзя провести к самой вершине.

3. Таким образом, из одной вершины нельзя провести диагональ к трем вершинам: к самой себе и к двум соседним. Следовательно, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

4. Так как в многоугольнике $n$ вершин, то если мы умножим количество вершин на число диагоналей, выходящих из каждой, получим $n \cdot (n-3)$.

5. В этом произведении каждая диагональ посчитана дважды. Например, диагональ, соединяющая вершину A и вершину C, была учтена и как выходящая из A, и как выходящая из C. Чтобы получить истинное число уникальных диагоналей, результат нужно разделить на 2.

В итоге мы приходим к формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2}$.

Ответ: Формула получается из того, что из каждой из $n$ вершин можно провести $n-3$ диагонали, а чтобы не считать каждую диагональ дважды (для каждой из двух ее вершин), полученное произведение $n(n-3)$ делится на 2.