Номер 2.154, страница 69 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.154, страница 69.

Условие.

2.154. Мальчика и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать?

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи по комбинаторике необходимо найти количество способов рассадить одного мальчика (М) и двух девочек (Д1, Д2) за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не сидели на соседних местах. Четвертый стул останется пустым (П).

Рассмотрим два метода решения.

Способ 1: Метод исключения

Суть метода в том, чтобы найти общее количество возможных рассадок и вычесть из него количество «неправильных» рассадок (тех, где девочки сидят вместе).

1. Общее число рассадок.
Мы имеем 4 различных объекта для рассадки (Мальчик, Девочка 1, Девочка 2, Пустое место). Число способов рассадить $n$ различных объектов за круглым столом равно $(n-1)!$.
В данном случае $n=4$, поэтому общее число способов рассадки составляет:
$N_{общ} = (4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

2. Число рассадок, где девочки сидят вместе.
Чтобы посчитать это, представим двух девочек как единую группу [Д1, Д2]. Теперь нам нужно рассадить за круглым столом 3 объекта: Мальчика, Пустое место и группу девочек.
Число способов для 3 объектов: $(3-1)! = 2! = 2$.
Внутри группы девочки могут поменяться местами (Д1, Д2 или Д2, Д1), что даёт $2! = 2$ варианта.
Общее число «неправильных» рассадок — это произведение этих значений:
$N_{небл} = (3-1)! \times 2! = 2 \times 2 = 4$.

3. Число искомых рассадок.
Вычитаем из общего числа рассадок число «неправильных»:
$N = N_{общ} - N_{небл} = 6 - 4 = 2$.

Способ 2: Прямой подсчёт

1. Фиксируем место для одного человека.
Поскольку стол круглый, для учёта вращательной симметрии, посадим первую девочку (Д1) на любое место. Это можно сделать одним способом.

2. Рассаживаем вторую девочку.
Осталось 3 свободных стула. Два из них являются соседними для Д1, а один находится напротив. По условию, вторая девочка (Д2) не может сидеть рядом с Д1, поэтому для неё остаётся только одно возможное место — на стуле напротив.

3. Рассаживаем мальчика.
После того как девочки заняли два противоположных места, осталось два свободных стула, также расположенных друг напротив друга. Мальчика можно посадить на любой из этих двух стульев, что даёт 2 варианта.

4. Оставшееся место.
Последний оставшийся стул будет пустым (1 вариант).

Итоговое количество способов равно произведению вариантов на каждом шаге: $1 \times 1 \times 2 \times 1 = 2$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 2