Номер 2.147, страница 69 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.147, страница 69.

Условие.

2.147. Сколько двузначных чисел можно записать с использованием цифр 9, 8, 7:

а) без повторения цифр;

б) с повторением цифр?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для составления двузначных чисел из предложенных цифр {9, 8, 7} необходимо определить количество возможных вариантов для каждой из двух позиций в числе (десятки и единицы) в зависимости от условия.

а) без повторения цифр

Двузначное число состоит из двух цифр. Нам нужно выбрать и расставить две разные цифры из трех данных.
На место десятков можно поставить любую из трех цифр (9, 8 или 7). Таким образом, есть 3 варианта.
После того как мы выбрали цифру для десятков, на место единиц можно поставить любую из двух оставшихся цифр (так как цифры не должны повторяться). Таким образом, есть 2 варианта.
Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$3 \times 2 = 6$.
Это задача на размещения без повторений, и ее можно решить по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=3$ (количество доступных цифр) и $k=2$ (количество позиций в числе):
$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6$.
Возможные числа: 98, 97, 89, 87, 79, 78.
Ответ: 6

б) с повторением цифр

В этом случае цифры в двузначном числе могут быть одинаковыми.
На место десятков можно поставить любую из трех цифр (9, 8 или 7). Есть 3 варианта.
Поскольку повторение разрешено, на место единиц также можно поставить любую из трех цифр. Есть 3 варианта.
Общее количество возможных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции:
$3 \times 3 = 9$.
Это задача на размещения с повторениями, и ее можно решить по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n=3$ и $k=2$:
$\bar{A}_3^2 = 3^2 = 9$.
Возможные числа: 99, 98, 97, 89, 88, 87, 79, 78, 77.
Ответ: 9