Номер 2.150, страница 69 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.150, страница 69.

Условие.

2.150. Сколько двухзначных; трёхзначных; четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 без повторения?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Эта задача решается с помощью комбинаторики, а именно — нахождения числа размещений без повторений. Общее количество доступных цифр $n=5$ (цифры 1, 2, 3, 4, 5). Формула для числа размещений $k$ элементов из $n$ имеет вид: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Также можно использовать правило произведения.

двузначных:
Для составления двузначного числа ($k=2$) нужно выбрать первую и вторую цифры. На место первой цифры можно поставить любую из 5 данных цифр. Так как цифры не должны повторяться, на место второй цифры можно поставить любую из оставшихся 4 цифр. По правилу произведения, общее число способов равно:
$5 \times 4 = 20$
Используя формулу размещений:
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$.
Ответ: 20

трёхзначных:
Для составления трёхзначного числа ($k=3$) на первое место можно выбрать одну из 5 цифр, на второе — одну из 4 оставшихся, а на третье — одну из 3 оставшихся. Общее число способов:
$5 \times 4 \times 3 = 60$
Используя формулу размещений:
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.
Ответ: 60

четырёхзначных:
Для составления четырёхзначного числа ($k=4$) рассуждаем аналогично. Количество вариантов для каждой позиции: 5, 4, 3 и 2. Общее число способов:
$5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$
Используя формулу размещений:
$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 120$.
Ответ: 120