Номер 2.155, страница 69 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.155, страница 69.

Условие.

2.155. Двух мальчиков и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать?

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи воспользуемся методом исключения. Сначала найдем общее количество способов рассадить 4 человек за круглым столом, а затем вычтем из него количество способов, при которых две девочки сидят рядом.

1. Общее количество способов рассадки.
Количество способов рассадить $n$ различных объектов по кругу вычисляется по формуле $(n-1)!$. В нашем случае $n=4$ (два мальчика и две девочки).Общее число способов рассадки равно:$N_{общ} = (4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

2. Количество способов, когда девочки сидят рядом.
Чтобы найти это количество, мы можем мысленно объединить двух девочек в один объект. Тогда нам нужно будет рассадить за столом уже не 4 человека, а 3 "объекта": двух мальчиков и одну "пару девочек".Число способов рассадить 3 объекта по кругу равно:$N_{блоки} = (3-1)! = 2! = 2$.Однако внутри "пары девочек" они могут меняться местами (девочка 1 слева, девочка 2 справа, и наоборот). Количество таких перестановок равно $2! = 2$.Следовательно, общее количество способов рассадить детей так, чтобы девочки оказались рядом, равно произведению этих двух значений:$N_{вместе} = N_{блоки} \times 2! = 2 \times 2 = 4$.

3. Количество способов, когда девочки не сидят рядом.
Чтобы найти искомое количество способов, вычтем из общего числа рассадок число рассадок, где девочки сидят вместе:$N_{искомое} = N_{общ} - N_{вместе} = 6 - 4 = 2$.

Есть и другой способ решения. Сначала рассадим мальчиков. За круглым столом это можно сделать $(2-1)! = 1$ способом. Между двумя мальчиками образуется два свободных места. Чтобы девочки не сидели рядом, их нужно посадить на эти два места. Первую девочку можно посадить на любое из 2 мест, а вторую — на 1 оставшееся. Количество способов рассадить девочек равно $2 \times 1 = 2$.Итоговое количество способов: $1 \times 2 = 2$.

Ответ: 2