Номер 2.158, страница 70 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.158, страница 70.

Условие.

2.158. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти общее количество партий в турнире, где каждый из 8 друзей играет с каждым другим ровно один раз, нам нужно вычислить количество всех возможных уникальных пар игроков. Каждая такая пара соответствует одной партии. Порядок игроков в паре не имеет значения (партия между другом А и другом Б — это то же самое, что и партия между другом Б и другом А).

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Логический подсчет

Рассмотрим каждого друга по очереди:

- Первый друг сыграет с 7 остальными друзьями. Это 7 партий.
- Второй друг уже сыграл с первым, поэтому ему нужно сыграть с 6 оставшимися друзьями. Это 6 новых партий.
- Третий друг уже сыграл с первым и вторым, ему остаётся сыграть с 5 друзьями. Это 5 новых партий.
- Четвертый друг сыграет с 4 оставшимися друзьями. Это 4 новые партии.
- Пятый друг сыграет с 3 оставшимися. Это 3 новые партии.
- Шестой друг сыграет с 2 оставшимися. Это 2 новые партии.
- Седьмой друг сыграет с последним, восьмым другом. Это 1 новая партия.
- Восьмой друг к этому моменту уже сыграл со всеми.

Теперь сложим количество всех уникальных партий:

$7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 8 элементов по 2, поскольку каждая партия — это выбор двух игроков из восьми без учета порядка. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число друзей $n=8$, а в каждой партии участвуют $k=2$ человека. Подставим эти значения в формулу:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 1 \cdot 6!}$

Сократив $6!$ в числителе и знаменателе, получаем:

$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 28