Номер 2.157, страница 70 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.157, страница 70.

Условие.

Рис. 29

2.157. а) На окружности отметили 6 точек (рис. 29). Сколько получится отрезков, если соединить каждую точку с каждой?

б) Встретились шесть друзей, каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы найти количество отрезков, нужно определить, сколько уникальных пар точек можно составить из 6 имеющихся. Порядок точек в паре не важен (отрезок AB — это то же самое, что и BA). Это задача на нахождение числа сочетаний.

Решение 1: Метод последовательного подсчета.
Из первой точки можно провести 5 отрезков к остальным 5 точкам.
Из второй точки можно провести 4 новых отрезка (так как отрезок к первой точке уже учтён).
Из третьей точки — 3 новых отрезка.
Из четвертой — 2 новых отрезка.
Из пятой — 1 новый отрезок.
Шестая точка уже будет соединена со всеми предыдущими.
Общее количество отрезков равно сумме: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

Решение 2: Использование комбинаторной формулы.
Количество отрезков можно найти по формуле для числа сочетаний $C_n^k$, где $n$ — общее число точек ($n=6$), а $k$ — число точек, образующих отрезок ($k=2$).

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Также можно использовать упрощенную формулу для нахождения количества пар: $\frac{n(n-1)}{2}$.
Количество отрезков = $\frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Ответ: 15.

б)

Эта задача математически эквивалентна предыдущей. Каждое рукопожатие происходит между двумя людьми, и порядок не важен (если Алёша пожал руку Вове, это то же самое рукопожатие, что и Вова пожал руку Алёше). Нам нужно найти общее количество уникальных пар друзей из шести.

Решение 1: Метод последовательного подсчета.
Первый друг пожимает руку 5 другим друзьям.
Второй друг уже пожал руку первому, поэтому он совершает рукопожатие с 4 оставшимися.
Третий — с 3 оставшимися.
Четвертый — с 2 оставшимися.
Пятый — с 1 оставшимся.
Шестой друг уже обменялся рукопожатиями со всеми.
Общее количество рукопожатий: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

Решение 2: Использование комбинаторной формулы.
Пусть $n$ — количество друзей, $n=6$. Количество рукопожатий равно числу сочетаний из 6 по 2.

Количество рукопожатий = $C_6^2 = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.

Ответ: 15.