Номер 2.160, страница 70 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.160, страница 70.

Условие.

2.160. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Петя Веселов был так рад встрече, что дважды пожал руку некоторым из своих приятелей (но не всем). Всего было $b$ рукопожатий. Скольким приятелям Петя пожал руку дважды? Решите задачу, если:

а) $b=17$;

б) $b=18$;

в) $b=19$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — общее число приятелей, включая Петю. Если бы все обменялись рукопожатиями ровно по одному разу, общее количество рукопожатий было бы равно числу сочетаний из $n$ по 2, то есть $\frac{n(n-1)}{2}$.

Пусть $k$ — это количество приятелей, которым Петя пожал руку дважды. Эти $k$ рукопожатий являются дополнительными к стандартному числу. Таким образом, общее число рукопожатий $b$ можно выразить формулой: $b = \frac{n(n-1)}{2} + k$.

По условию задачи, Петя пожал руку дважды некоторым, но не всем своим приятелям. Всего у Пети $n-1$ приятелей. Следовательно, для $k$ должно выполняться строгое неравенство: $0 < k < n-1$.

Наша задача — для каждого значения $b$ найти такие целые числа $n$ и $k$, которые удовлетворяют уравнению и неравенству.

а) $b=17$

Ищем натуральные числа $n$ и $k$, удовлетворяющие уравнению $17 = \frac{n(n-1)}{2} + k$ и условию $0 < k < n-1$.

Начнем перебор возможных значений $n$, при которых стандартное число рукопожатий $\frac{n(n-1)}{2}$ меньше 17.

При $n=5$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 17 - 10 = 7$. У Пети $n-1=4$ приятеля. Условие $0 < k < 4$ не выполняется, так как $7 > 4$.

При $n=6$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 17 - 15 = 2$. У Пети $n-1=5$ приятелей. Проверяем условие: $0 < 2 < 5$. Неравенство верное, значит, этот случай является решением.

При $n=7$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{7(6)}{2} = 21$, что уже больше 17. Дальнейший перебор не имеет смысла.

Единственное решение: всего было 6 приятелей, и Петя пожал руку дважды двоим из них.

Ответ: 2.

б) $b=18$

Ищем натуральные числа $n$ и $k$, удовлетворяющие уравнению $18 = \frac{n(n-1)}{2} + k$ и условию $0 < k < n-1$.

Проверим возможные значения $n$, при которых $\frac{n(n-1)}{2} < 18$.

При $n=5$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 18 - 10 = 8$. У Пети $n-1=4$ приятеля. Условие $0 < k < 4$ не выполняется, так как $8 > 4$.

При $n=6$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 18 - 15 = 3$. У Пети $n-1=5$ приятелей. Проверяем условие: $0 < 3 < 5$. Неравенство верное, значит, это решение.

При $n=7$, стандартное число рукопожатий $\frac{7(6)}{2} = 21$, что больше 18.

Таким образом, всего было 6 приятелей, и Петя пожал руку дважды троим из них.

Ответ: 3.

в) $b=19$

Ищем натуральные числа $n$ и $k$, удовлетворяющие уравнению $19 = \frac{n(n-1)}{2} + k$ и условию $0 < k < n-1$.

Проверим возможные значения $n$, при которых $\frac{n(n-1)}{2} < 19$.

При $n=5$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 19 - 10 = 9$. У Пети $n-1=4$ приятеля. Условие $0 < k < 4$ не выполняется, так как $9 > 4$.

При $n=6$, стандартное число рукопожатий равно $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 19 - 15 = 4$. У Пети $n-1=5$ приятелей. Проверяем условие: $0 < 4 < 5$. Неравенство верное, это является решением.

При $n=7$, стандартное число рукопожатий $\frac{7(6)}{2} = 21$, что больше 19.

Следовательно, всего было 6 приятелей, и Петя пожал руку дважды четверым из них.

Ответ: 4.