Номер 2.159, страница 70 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.159, страница 70.

Условие.

ИССЛЕДУЕМ

2.159. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Вася Угрюмов был не в духе и пожал руку не всем своим приятелям. Всего было 13 рукопожатий. Скольким приятелям Вася пожал руку?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть общее количество приятелей равно $n$. В эту группу входит и Вася.

Если бы все $n$ приятелей обменялись рукопожатиями друг с другом, то общее число рукопожатий вычислялось бы по формуле числа сочетаний из $n$ по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

В задаче сказано, что все, кроме Васи, пожали руки всем. Это значит, что группа из $(n-1)$ приятелей совершила все возможные рукопожатия между собой. Количество рукопожатий в этой группе равно $C_{n-1}^2 = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$.

Пусть $k$ — это количество приятелей, которым Вася пожал руку. По условию, Вася пожал руку не всем, значит $k < n-1$.

Общее число рукопожатий равно сумме рукопожатий в группе из $(n-1)$ человек и рукопожатий, которые сделал Вася. По условию, это число равно 13.

Составим уравнение: $\frac{(n-1)(n-2)}{2} + k = 13$.

Поскольку количество рукопожатий $k$ не может быть отрицательным ($k \ge 0$), то число рукопожатий в группе без Васи не должно превышать 13, то есть $\frac{(n-1)(n-2)}{2} \le 13$. Будем подбирать натуральное число $n > 1$, чтобы найти решение.

Проверим возможные значения $n$:

- При $n=5$: количество рукопожатий в группе без Васи равно $\frac{(5-1)(5-2)}{2} = 6$. Тогда $6 + k = 13$, откуда $k=7$. Но у Васи всего $n-1=4$ приятеля, поэтому он не мог пожать 7 рук. Этот вариант не подходит.

- При $n=6$: количество рукопожатий в группе без Васи равно $\frac{(6-1)(6-2)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$. Тогда $10 + k = 13$, откуда $k=3$. У Васи $n-1=5$ приятелей. Условие $k < n-1$ (то есть $3 < 5$) выполняется, так как он пожал руку не всем. Этот вариант является решением.

- При $n=7$: количество рукопожатий в группе без Васи равно $\frac{(7-1)(7-2)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$. Это уже больше общего числа рукопожатий (13), поэтому этот и все последующие варианты не подходят.

Таким образом, единственно возможный вариант — это когда всего было 6 приятелей. Пятеро из них (без Васи) совершили между собой 10 рукопожатий, а Вася совершил оставшиеся $13 - 10 = 3$ рукопожатия.

Ответ: 3.