Номер 2.153, страница 69 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.153, страница 69.

Условие.

2.153. У круглого стола поставили четыре стула. Сколькими способами можно рассадить на эти стулья:

а) четырёх детей;

б) трёх детей;

в) двух детей?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Поскольку стулья являются различными физическими объектами, каждое место за столом уникально. Поэтому, несмотря на то что стол круглый, мы решаем задачу о размещениях (permutations), так как важен не только порядок детей относительно друг друга, но и то, на каком конкретно стуле сидит каждый ребёнок.

а) четырёх детей;

Нужно рассадить 4 детей на 4 стула. Так как все дети и все стулья различны, количество способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов.Первого ребёнка можно посадить на любой из 4 стульев.Второго — на любой из 3 оставшихся.Третьего — на любой из 2 оставшихся.Четвёртого — на последний свободный стул.Общее число способов равно произведению этих вариантов. Это вычисляется по формуле числа перестановок $P_n = n!$.Для $n=4$:$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Ответ: 24.

б) трёх детей;

Нужно рассадить 3 детей на 4 стула. Это задача нахождения числа размещений из 4 элементов (стульев) по 3 (детям). Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.В нашем случае $n=4$ и $k=3$:$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$.Также можно рассуждать по шагам:Для первого ребёнка есть 4 варианта выбора стула.Для второго ребёнка остаётся 3 варианта.Для третьего ребёнка остаётся 2 варианта.Общее число способов: $4 \times 3 \times 2 = 24$.

Ответ: 24.

в) двух детей?

Нужно рассадить 2 детей на 4 стула. Это также задача на размещения, где $n=4$ (стулья) и $k=2$ (дети).Используем ту же формулу для числа размещений $A_n^k$:$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.По шагам:Первый ребёнок может выбрать любой из 4 стульев.Второй ребёнок может выбрать любой из оставшихся 3 стульев.Общее число способов: $4 \times 3 = 12$.

Ответ: 12.