Номер 2.152, страница 69 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.152, страница 69.

Условие.

2.152. а) Все четырёхзначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 4312?

б) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 54312?

в) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, выписывают в порядке возрастания. Сколько чисел в этом списке? Каким по счёту в этом списке будет число 54231?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Все четырехзначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4 без повторения, представляют собой перестановки этих четырех цифр. Числа занумерованы в порядке возрастания, что соответствует лексикографическому порядку. Чтобы найти номер числа 4312, нужно посчитать, сколько чисел в этом списке меньше него.

1. Сначала посчитаем количество чисел, которые начинаются с цифры, меньшей 4. Это цифры 1, 2, 3.
- Чисел, начинающихся с 1: оставшиеся 3 цифры (2, 3, 4) можно расположить на трех последних позициях $3!$ способами. $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
- Чисел, начинающихся с 2: аналогично, $3! = 6$.
- Чисел, начинающихся с 3: аналогично, $3! = 6$.
Всего чисел, меньших 4000, равно $3 \times 3! = 3 \times 6 = 18$.

2. Теперь рассмотрим числа, начинающиеся с 4. Нам нужно найти место числа 4312. Посчитаем, сколько чисел, начинающихся с 4, меньше чем 4312.
- Числа, начинающиеся с 41: оставшиеся 2 цифры (2, 3) можно расположить $2! = 2$ способами.
- Числа, начинающиеся с 42: оставшиеся 2 цифры (1, 3) можно расположить $2! = 2$ способами.
Всего таких чисел $2 + 2 = 4$.

3. Следующими в списке идут числа, начинающиеся с 43. Оставшиеся цифры — 1 и 2. В порядке возрастания сначала идет число с меньшей следующей цифрой, то есть 4312, а за ним 4321. Наше число 4312 — первое в этой группе.

Общее количество чисел, которые меньше 4312, равно сумме чисел из пунктов 1 и 2: $18 + 4 = 22$.
Поскольку перед числом 4312 находится 22 числа, само оно будет иметь номер $22 + 1 = 23$.

Ответ: 23.

б)

Аналогично пункту а), найдем номер пятизначного числа 54312, составленного из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Для этого посчитаем количество чисел, которые меньше 54312.

1. Числа, начинающиеся с цифры, меньшей 5 (т.е. 1, 2, 3, 4).
Для каждой из этих 4-х цифр оставшиеся 4 цифры можно переставить $4! = 24$ способами.
Количество таких чисел: $4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$.

2. Числа, начинающиеся с 5, но с второй цифрой, меньшей 4 (т.е. 1, 2, 3).
Для каждой из этих 3-х цифр (1, 2, 3) оставшиеся 3 цифры можно переставить $3! = 6$ способами.
Количество таких чисел: $3 \times 3! = 3 \times 6 = 18$.

3. Числа, начинающиеся с 54, но с третьей цифрой, меньшей 3 (т.е. 1, 2).
Для каждой из этих 2-х цифр (1, 2) оставшиеся 2 цифры можно переставить $2! = 2$ способами.
Количество таких чисел: $2 \times 2! = 2 \times 2 = 4$.

4. Следующими идут числа, начинающиеся с 543. Оставшиеся цифры — 1 и 2. В порядке возрастания они образуют числа 54312 и 54321. Искомое число 54312 является первым в этой паре.

Общее количество чисел, меньших 54312, равно: $96 + 18 + 4 = 118$.
Значит, число 54312 имеет номер $118 + 1 = 119$.

Ответ: 119.

в)

Эта задача содержит два вопроса.

1. Сколько чисел в этом списке?
Список состоит из всех возможных пятизначных чисел, которые можно составить из пяти различных цифр (1, 2, 3, 4, 5) без повторения. Это количество перестановок из 5 элементов.
Общее количество чисел равно $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

2. Каким по счёту в этом списке будет число 54231?
Чтобы найти порядковый номер числа 54231, посчитаем, сколько чисел меньше него.
- Числа, у которых первая цифра меньше 5 (1, 2, 3, 4): $4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$ чисел.
- Числа, начинающиеся с 5, у которых вторая цифра меньше 4 (1, 2, 3): $3 \times 3! = 3 \times 6 = 18$ чисел.
- Числа, начинающиеся с 54, у которых третья цифра меньше 2 (только 1): $1 \times 2! = 1 \times 2 = 2$ числа.
- Числа, начинающиеся с 542. Оставшиеся цифры — 1 и 3. В порядке возрастания они образуют числа 54213 и 54231. Перед числом 54231 стоит только одно число: 54213.

Суммарное количество чисел, меньших 54231, равно: $96 + 18 + 2 + 1 = 117$.
Следовательно, число 54231 находится на $117 + 1 = 118$-м месте в списке.

Ответ: всего в списке 120 чисел; число 54231 будет 118-м по счёту.