Номер 2.162, страница 70 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.162, страница 70.

Условие.

2.162. Аня нарисовала многоугольник и провела 20 диагоналей. Ей осталось провести меньше половины всех диагоналей этого многоугольника. Сколько диагоналей ей осталось провести?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ – количество вершин в многоугольнике, который нарисовала Аня, а $D$ – общее количество диагоналей в этом многоугольнике.

Общее количество диагоналей для многоугольника с $n$ вершинами вычисляется по формуле:$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Из условия задачи известно, что Аня провела 20 диагоналей. Обозначим количество диагоналей, которые ей осталось провести, как $d_{ост}$. Тогда общее число диагоналей в многоугольнике равно сумме уже проведенных и оставшихся диагоналей:$D = 20 + d_{ост}$

Также в условии сказано, что количество оставшихся диагоналей составляет меньше половины от их общего числа. Это можно записать в виде неравенства:$d_{ост} < \frac{D}{2}$

Теперь мы можем использовать эти соотношения для нахождения возможных значений $D$. Подставим выражение $d_{ост} = D - 20$ в неравенство:$D - 20 < \frac{D}{2}$

Решим это неравенство относительно $D$:$D - \frac{D}{2} < 20$$\frac{D}{2} < 20$$D < 40$

Кроме того, поскольку Аня уже провела 20 диагоналей, общее их число не может быть меньше 20, то есть $D \ge 20$.

Итак, мы ищем такой многоугольник, у которого общее число диагоналей $D$ удовлетворяет двойному неравенству $20 \le D < 40$. Найдем все возможные целочисленные значения $D$, которые могут быть получены по формуле для числа диагоналей. Для этого будем перебирать количество вершин $n$, начиная с $n=4$:

• При $n=8$: $D = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$. Это значение удовлетворяет условию $20 \le 20 < 40$.
• При $n=9$: $D = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27$. Это значение удовлетворяет условию $20 \le 27 < 40$.
• При $n=10$: $D = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$. Это значение удовлетворяет условию $20 \le 35 < 40$.
• При $n=11$: $D = \frac{11(11-3)}{2} = \frac{11 \cdot 8}{2} = 44$. Это значение больше 40, поэтому дальнейший перебор не имеет смысла.

Мы получили три возможных варианта для многоугольника, который могла нарисовать Аня. Теперь для каждого варианта найдем, сколько диагоналей ей осталось провести, используя формулу $d_{ост} = D - 20$:

1. Если это был восьмиугольник, то $D=20$. Тогда осталось провести: $d_{ост} = 20 - 20 = 0$ диагоналей.
2. Если это был девятиугольник, то $D=27$. Тогда осталось провести: $d_{ост} = 27 - 20 = 7$ диагоналей.
3. Если это был десятиугольник, то $D=35$. Тогда осталось провести: $d_{ост} = 35 - 20 = 15$ диагоналей.

Все три варианта являются решением задачи, так как удовлетворяют всем указанным условиям.

Ответ: 0, 7 или 15.