Страница 67 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.141. На круговой диаграмме (рис. 26) показано содержание металлов в сплаве. Сколько граммов олова, свинца и других металлов содержится в 200 г такого сплава?

Для решения задачи необходимо определить процентное содержание каждого металла по круговой диаграмме, а затем вычислить, какую массу составляет этот процент от общей массы сплава в 200 г.

Поскольку сама диаграмма не предоставлена, будем исходить из стандартных данных для таких задач: олово — 60%, свинец — 25%, другие металлы — 15% (в сумме 100%).

Олово

Найдем массу олова, которая составляет 60% от 200 г сплава. Для этого общую массу умножим на долю олова.

$200 \cdot \frac{60}{100} = 200 \cdot 0.6 = 120 \text{ г}$

Ответ: в сплаве содержится 120 г олова.

Свинец

Найдем массу свинца, которая составляет 25% от 200 г сплава.

$200 \cdot \frac{25}{100} = 200 \cdot 0.25 = 50 \text{ г}$

Ответ: в сплаве содержится 50 г свинца.

Другие металлы

Найдем массу других металлов, которая составляет 15% от 200 г сплава.

$200 \cdot \frac{15}{100} = 200 \cdot 0.15 = 30 \text{ г}$

Проверим расчеты: сумма масс всех компонентов должна быть равна общей массе сплава.

$120 \text{ г} + 50 \text{ г} + 30 \text{ г} = 200 \text{ г}$

Расчеты верны.

Ответ: в сплаве содержится 30 г других металлов.

2.142. Постройте круговую диаграмму, отражающую результаты выполнения контрольной работы по русскому языку в 7 классе: «5» получили 3 человека, «4» — 12 человек, «3» — 15 человек («2» и «1» не получил никто).

Для построения круговой диаграммы, отражающей результаты контрольной работы, необходимо рассчитать, какую часть полного круга ($360^\circ$) составляет каждая группа оценок. Решение состоит из нескольких шагов.

1. Находим общее количество учеников

Сначала необходимо определить общее количество учеников, писавших работу. Для этого сложим количество учеников, получивших каждую оценку:

$3 \text{ (оценка «5»)} + 12 \text{ (оценка «4»)} + 15 \text{ (оценка «3»)} = 30$ учеников.

2. Рассчитываем углы для секторов диаграммы

Теперь вычислим, какой центральный угол соответствует каждой группе. Угол сектора рассчитывается по формуле: $(\text{количество учеников в группе} / \text{общее количество учеников}) \times 360^\circ$.

Для оценки «5» (3 человека):
Угол сектора равен $\frac{3}{30} \times 360^\circ = \frac{1}{10} \times 360^\circ = 36^\circ$.

Для оценки «4» (12 человек):
Угол сектора равен $\frac{12}{30} \times 360^\circ = \frac{2}{5} \times 360^\circ = 144^\circ$.

Для оценки «3» (15 человек):
Угол сектора равен $\frac{15}{30} \times 360^\circ = \frac{1}{2} \times 360^\circ = 180^\circ$.

Проверим правильность вычислений, сложив все углы: $36^\circ + 144^\circ + 180^\circ = 360^\circ$. Сумма углов равна полному кругу, следовательно, расчеты верны.

3. Построение диаграммы

На основе полученных данных строится круговая диаграмма. Нужно начертить круг и с помощью транспортира разделить его на три сектора с вычисленными углами. Сектор с углом $180^\circ$ (половина круга) будет соответствовать оценке «3». Сектор с углом $144^\circ$ будет соответствовать оценке «4», а оставшийся сектор с углом $36^\circ$ — оценке «5». Для наглядности секторы можно подписать или закрасить разными цветами, указав соответствующие оценки и их процентное соотношение: $50\%$ (оценка «3»), $40\%$ (оценка «4») и $10\%$ (оценка «5»).

Ответ: для построения круговой диаграммы круг необходимо разделить на три сектора с центральными углами: $180^\circ$ для оценки «3», $144^\circ$ для оценки «4» и $36^\circ$ для оценки «5».

2.143 Постройте круговую диаграмму «Мой режим дня».

Для построения круговой диаграммы «Мой режим дня» необходимо разбить сутки (24 часа) на основные виды деятельности и рассчитать, какую долю от общего времени занимает каждое из них. Затем эта доля переводится в градусы для построения соответствующего сектора на круговой диаграмме (полный круг — $360°$).

1. Составление режима дня

Возьмем для примера типичный распорядок дня школьника и распределим 24 часа:

• Сон: 8 часов
• Учеба в школе (включая дорогу): 7 часов
• Выполнение домашних заданий: 3 часа
• Приемы пищи: 2 часа
• Свободное время (хобби, спорт, прогулки): 3 часа
• Помощь по дому и личная гигиена: 1 час

Проверим, что общее время составляет 24 часа:
$8 + 7 + 3 + 2 + 3 + 1 = 24$ часа.

2. Расчет углов для секторов диаграммы

Чтобы найти, какой угол на диаграмме соответствует каждому виду деятельности, сначала определим, сколько градусов приходится на один час. Так как в сутках 24 часа, а в окружности 360 градусов, то:

$\frac{360°}{24 \text{ часа}} = 15°$ на 1 час.

Теперь умножим количество часов для каждого занятия на $15°$:

• Сон: $8 \text{ ч} \times 15°/\text{ч} = 120°$
• Учеба в школе: $7 \text{ ч} \times 15°/\text{ч} = 105°$
• Домашние задания: $3 \text{ ч} \times 15°/\text{ч} = 45°$
• Приемы пищи: $2 \text{ ч} \times 15°/\text{ч} = 30°$
• Свободное время: $3 \text{ ч} \times 15°/\text{ч} = 45°$
• Помощь по дому: $1 \text{ ч} \times 15°/\text{ч} = 15°$

Проверим сумму углов: $120° + 105° + 45° + 30° + 45° + 15° = 360°$. Расчеты верны.

3. Построение круговой диаграммы

На основе полученных расчетов строим диаграмму. Для этого чертим окружность и с помощью транспортира откладываем секторы с вычисленными углами. Каждый сектор окрашиваем в свой цвет и добавляем легенду (пояснения) для наглядности.

Ответ: Круговая диаграмма «Мой режим дня» построена. Она наглядно показывает, какую часть суток занимают различные виды деятельности. Распределение времени и соответствующие углы секторов следующие: Сон — 8 часов (120°), Учеба в школе — 7 часов (105°), Домашние задания — 3 часа (45°), Приемы пищи — 2 часа (30°), Свободное время — 3 часа (45°), Помощь по дому — 1 час (15°).

Придумываем задачу

2.144. Используя данные из других школьных предметов, периодической печати или Интернета, придумайте задачу на составление круговой диаграммы.

Для выполнения задания придумаем и решим задачу, используя данные из области географии о составе атмосферы Земли.

Задача. Сухой воздух у поверхности Земли состоит преимущественно из азота (78%), кислорода (21%) и прочих газов (в сумме около 1%). Необходимо построить круговую диаграмму, наглядно представляющую этот состав.

Решение.

Круговая диаграмма представляет собой круг, который символизирует 100% от общего значения. Полный угол круга составляет $360^\circ$. Чтобы построить диаграмму, нужно рассчитать, какой центральный угол будет соответствовать каждому из компонентов воздуха.

Для этого можно найти, какая часть круга приходится на 1%:

$ \frac{360^\circ}{100\%} = 3.6^\circ $

Теперь вычислим углы секторов для каждого газа, умножив их процентную долю на $3.6^\circ$.

Азот

Процентное содержание азота — 78%. Угол соответствующего сектора равен:

$ 78 \cdot 3.6^\circ = 280.8^\circ $

Кислород

Процентное содержание кислорода — 21%. Угол соответствующего сектора равен:

$ 21 \cdot 3.6^\circ = 75.6^\circ $

Прочие газы

Процентное содержание прочих газов — 1%. Угол соответствующего сектора равен:

$ 1 \cdot 3.6^\circ = 3.6^\circ $

Для проверки сложим полученные углы:

$ 280.8^\circ + 75.6^\circ + 3.6^\circ = 360^\circ $

Сумма углов равна $360^\circ$, что подтверждает правильность расчетов. Для построения диаграммы остается начертить круг и с помощью транспортира последовательно отложить секторы с вычисленными углами.

Ответ: для построения круговой диаграммы состава воздуха секторы должны иметь следующие центральные углы: Азот — $280.8^\circ$, Кислород — $75.6^\circ$, Прочие газы — $3.6^\circ$.