Номер 2.42, страница 48 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Отношения, пропорции, проценты. 2.3. Деление числа в данном отношении - номер 2.42, страница 48.

Условие.

2.42. Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 2 ч, а велосипедист — за 6 ч. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проехал каждый до встречи, если расстояние между пунктами 60 км? Решите задачу двумя способами.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Способ 1

Этот способ основан на вычислении скоростей мотоциклиста и велосипедиста.

1. Найдем скорость мотоциклиста. Он проезжает 60 км за 2 часа, следовательно, его скорость равна:

$V_{м} = \frac{S}{t_{м}} = \frac{60 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 30 \text{ км/ч}$

2. Найдем скорость велосипедиста. Он проезжает 60 км за 6 часов, следовательно, его скорость равна:

$V_{в} = \frac{S}{t_{в}} = \frac{60 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$

3. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения:

$V_{сбл} = V_{м} + V_{в} = 30 \text{ км/ч} + 10 \text{ км/ч} = 40 \text{ км/ч}$

4. Теперь найдем время, через которое они встретятся. Для этого нужно разделить общее расстояние на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S}{V_{сбл}} = \frac{60 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 1,5 \text{ ч}$

5. Зная время до встречи, можем вычислить расстояние, которое проехал каждый из них, умножив их скорость на время в пути.

Расстояние, которое проехал мотоциклист:

$S_{м} = V_{м} \times t_{встр} = 30 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 45 \text{ км}$

Расстояние, которое проехал велосипедист:

$S_{в} = V_{в} \times t_{встр} = 10 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 15 \text{ км}$

Проверка: $45 \text{ км} + 15 \text{ км} = 60 \text{ км}$.

Ответ: мотоциклист проехал 45 км, а велосипедист — 15 км.

Способ 2

Этот способ основан на определении, какую часть пути проезжает каждый за единицу времени (1 час).

1. Определим, какую часть всего расстояния проезжает мотоциклист за 1 час. Так как на весь путь он тратит 2 часа, за 1 час он проезжает:

$\frac{1}{2}$ всего расстояния.

2. Определим, какую часть всего расстояния проезжает велосипедист за 1 час. Так как на весь путь он тратит 6 часов, за 1 час он проезжает:

$\frac{1}{6}$ всего расстояния.

3. Найдем, какую часть расстояния они проезжают вместе за 1 час, двигаясь навстречу друг другу (их общая производительность):

$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ всего расстояния.

4. Теперь найдем время до их встречи. Если за 1 час они вместе преодолевают $\frac{2}{3}$ пути, то весь путь (принятый за 1) они преодолеют за:

$t_{встр} = 1 \div \frac{2}{3} = 1 \times \frac{3}{2} = 1,5 \text{ ч}$

5. Зная время до встречи, найдем, какую часть пути проехал каждый, и переведем это в километры.

Мотоциклист за 1,5 часа проехал часть пути, равную:

$\frac{1}{2} \text{ (пути/ч)} \times 1,5 \text{ ч} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ всего расстояния.

В километрах это составит: $S_{м} = 60 \text{ км} \times \frac{3}{4} = 45 \text{ км}$

Велосипедист за 1,5 часа проехал часть пути, равную:

$\frac{1}{6} \text{ (пути/ч)} \times 1,5 \text{ ч} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ всего расстояния.

В километрах это составит: $S_{в} = 60 \text{ км} \times \frac{1}{4} = 15 \text{ км}$

Проверка: $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ (весь путь).

Ответ: мотоциклист проехал 45 км, а велосипедист — 15 км.