Номер 2.44, страница 48 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Отношения, пропорции, проценты. 2.3. Деление числа в данном отношении - номер 2.44, страница 48.

Условие.

2.44. Из «Арифметики» А. П. Киселёва.

а) Разделить 84 на три части пропорционально числам 7, 5 и 2.

б) Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая часть относилась ко второй как 2:3, вторая к третьей как 3:5, а третья к четвёртой как 5:6.

в) Разделить 125 на такие части, чтобы первая часть относилась ко второй как 2:3, вторая к третьей как 4:5, а третья к четвёртой как 6:11.

г) Три купца составили товарищество для ведения некоторого торгового дела. Первый купец внёс для этой цели 15 000 р., второй — 10 000 р., третий — 12 500 р. По окончании торгового дела они получили общей прибыли 7500 р. Спрашивается, сколько из этой прибыли придётся получить каждому купцу.

д) На железной дороге работало 3 артели; в первой было 27 рабочих, во второй — 32, в третьей — 15; первая работала 20 дней, вторая — 18, третья — 16; все три артели получили за работу 4068 р. Сколько придётся получить каждой артели?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы разделить число 84 на три части пропорционально числам 7, 5 и 2, нужно сначала найти сумму этих чисел (долей).

$7 + 5 + 2 = 14$

Это означает, что число 84 состоит из 14 равных долей. Теперь найдем, чему равна одна доля:

$84 / 14 = 6$

Теперь, зная величину одной доли, можно найти каждую из трех частей:

• Первая часть: $7 \times 6 = 42$
• Вторая часть: $5 \times 6 = 30$
• Третья часть: $2 \times 6 = 12$

Проверка: $42 + 30 + 12 = 84$.

Ответ: 42, 30 и 12.

б)

Нужно разделить 125 на 4 части ($x_1, x_2, x_3, x_4$) со следующими отношениями:

$x_1 : x_2 = 2 : 3$

$x_2 : x_3 = 3 : 5$

$x_3 : x_4 = 5 : 6$

Чтобы найти общее соотношение, нужно привести все отношения к единой форме $x_1 : x_2 : x_3 : x_4$. Поскольку общие члены в соседних отношениях равны (3 для $x_2$ и 5 для $x_3$), мы можем сразу объединить их:

$x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 2 : 3 : 5 : 6$

Теперь задача сводится к разделению числа 125 в этом отношении. Найдем сумму долей:

$2 + 3 + 5 + 6 = 16$

Найдем величину одной доли:

$125 / 16 = 7.8125$

Теперь вычислим каждую часть:

• Первая часть: $2 \times (125 / 16) = 250 / 16 = 125 / 8 = 15.625$
• Вторая часть: $3 \times (125 / 16) = 375 / 16 = 23.4375$
• Третья часть: $5 \times (125 / 16) = 625 / 16 = 39.0625$
• Четвертая часть: $6 \times (125 / 16) = 750 / 16 = 375 / 8 = 46.875$

Ответ: 15.625, 23.4375, 39.0625 и 46.875.

в)

Нужно разделить 125 на 4 части ($x_1, x_2, x_3, x_4$) со следующими отношениями:

$x_1 : x_2 = 2 : 3$

$x_2 : x_3 = 4 : 5$

$x_3 : x_4 = 6 : 11$

Приведем эти отношения к общему виду. Сначала объединим первые два. Общий член $x_2$ имеет значения 3 и 4. Наименьшее общее кратное (НОК) для 3 и 4 равно 12. Умножим первое отношение на 4, а второе на 3:

$x_1 : x_2 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8 : 12$

$x_2 : x_3 = (4 \times 3) : (5 \times 3) = 12 : 15$

Теперь имеем $x_1 : x_2 : x_3 = 8 : 12 : 15$.

Теперь объединим это с третьим отношением $x_3 : x_4 = 6 : 11$. Общий член $x_3$ имеет значения 15 и 6. НОК для 15 и 6 равно 30. Умножим полученное тройное отношение на 2, а третье отношение на 5:

$x_1 : x_2 : x_3 = (8 \times 2) : (12 \times 2) : (15 \times 2) = 16 : 24 : 30$

$x_3 : x_4 = (6 \times 5) : (11 \times 5) = 30 : 55$

Итоговое общее отношение: $x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 16 : 24 : 30 : 55$.

Найдем сумму долей:

$16 + 24 + 30 + 55 = 125$

Величина одной доли: $125 / 125 = 1$.

Следовательно, искомые части равны самим долям:

• Первая часть: $16 \times 1 = 16$
• Вторая часть: $24 \times 1 = 24$
• Третья часть: $30 \times 1 = 30$
• Четвертая часть: $55 \times 1 = 55$

Ответ: 16, 24, 30 и 55.

г)

Прибыль должна быть разделена пропорционально вкладам каждого купца. Вклады составляют 15 000 р., 10 000 р. и 12 500 р. Найдем отношение вкладов:

$15000 : 10000 : 12500$

Для удобства упростим это отношение, разделив каждое число на их наибольший общий делитель. Можно последовательно делить на 100, а затем на 25.

$150 : 100 : 125$ (разделили на 100)

$6 : 4 : 5$ (разделили на 25)

Итак, прибыль в 7500 р. нужно разделить в отношении 6 : 4 : 5. Найдем сумму долей:

$6 + 4 + 5 = 15$

Найдем, сколько прибыли приходится на одну долю:

$7500 / 15 = 500$ р.

Теперь рассчитаем прибыль каждого купца:

• Прибыль первого купца: $6 \times 500 = 3000$ р.
• Прибыль второго купца: $4 \times 500 = 2000$ р.
• Прибыль третьего купца: $5 \times 500 = 2500$ р.

Проверка: $3000 + 2000 + 2500 = 7500$ р.

Ответ: первому купцу придётся 3000 р., второму — 2000 р., третьему — 2500 р.

д)

Оплата за работу должна быть распределена пропорционально объему выполненной работы каждой артелью. Объем работы можно измерить в человеко-днях (произведение количества рабочих на количество дней).

Рассчитаем объем работы для каждой артели:

• Первая артель: $27 \text{ рабочих} \times 20 \text{ дней} = 540$ человеко-дней
• Вторая артель: $32 \text{ рабочих} \times 18 \text{ дней} = 576$ человеко-дней
• Третья артель: $15 \text{ рабочих} \times 16 \text{ дней} = 240$ человеко-дней

Теперь нужно разделить общую оплату 4068 р. в отношении $540 : 576 : 240$. Упростим это отношение, найдя наибольший общий делитель. Все числа делятся на 12:

$540 / 12 = 45$

$576 / 12 = 48$

$240 / 12 = 20$

Таким образом, отношение долей составляет $45 : 48 : 20$. Найдем сумму долей:

$45 + 48 + 20 = 113$

Найдем, какая сумма приходится на одну долю:

$4068 / 113 = 36$ р.

Теперь рассчитаем оплату для каждой артели:

• Оплата первой артели: $45 \times 36 = 1620$ р.
• Оплата второй артели: $48 \times 36 = 1728$ р.
• Оплата третьей артели: $20 \times 36 = 720$ р.

Проверка: $1620 + 1728 + 720 = 4068$ р.

Ответ: первая артель получит 1620 р., вторая — 1728 р., третья — 720 р.