Номер 2.20, страница 42 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Отношения, пропорции, проценты. 2.1. Отношения чисел и величин - номер 2.20, страница 42.

Условие.

2.20. Два конькобежца одновременно стартовали на дистанцию 10 000 м по замкнутой дорожке, длина которой равна 400 м. Скорость первого конькобежца 20 км/ч, а скорость второго 21 км/ч. Обгонит ли второй конькобежец первого на круг до конца дистанции? А на два круга?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи сначала определим все данные и приведем их к единым единицам измерения. Дистанция $S = 10000$ м = $10$ км. Длина круга $L = 400$ м = $0.4$ км. Скорость первого конькобежца $v_1 = 20$ км/ч. Скорость второго конькобежца $v_2 = 21$ км/ч.

Чтобы определить, произойдет ли обгон, нужно сравнить время, необходимое для обгона, со временем, за которое заканчивается дистанция. Дистанция заканчивается, когда самый быстрый конькобежец (второй) ее преодолеет.

Обгонит ли второй конькобежец первого на круг до конца дистанции?

1. Найдем время, за которое второй, более быстрый, конькобежец пройдет всю дистанцию. Это и будет общее время гонки.

$t_{гонки} = \frac{S}{v_2} = \frac{10 \text{ км}}{21 \text{ км/ч}} = \frac{10}{21}$ часа.

2. Найдем время, необходимое второму конькобежцу, чтобы обогнать первого на один круг. Для этого используем понятие скорости сближения. Второй конькобежец догоняет первого со скоростью, равной разности их скоростей.

$v_{сближения} = v_2 - v_1 = 21 \text{ км/ч} - 20 \text{ км/ч} = 1$ км/ч.

3. Чтобы обогнать первого на один круг, второй должен "наверстать" расстояние, равное длине одного круга ($L = 0.4$ км). Найдем время, за которое это произойдет.

$t_{обгона1} = \frac{L}{v_{сближения}} = \frac{0.4 \text{ км}}{1 \text{ км/ч}} = 0.4$ часа.

4. Теперь сравним время, необходимое для обгона, с общим временем гонки.

$t_{обгона1} = 0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ часа.

$t_{гонки} = \frac{10}{21}$ часа.

Приведем дроби к общему знаменателю $5 \times 21 = 105$:

$t_{обгона1} = \frac{2 \times 21}{105} = \frac{42}{105}$ часа.

$t_{гонки} = \frac{10 \times 5}{105} = \frac{50}{105}$ часа.

Так как $\frac{42}{105} < \frac{50}{105}$, то $t_{обгона1} < t_{гонки}$. Это означает, что второй конькобежец успеет обогнать первого на один круг до того, как финиширует.

Ответ: да, обгонит.

А на два круга?

1. Чтобы обогнать первого конькобежца на два круга, второму нужно преодолеть разницу в расстоянии, равную двум длинам круга.

$L_{два} = 2 \times L = 2 \times 0.4 \text{ км} = 0.8$ км.

2. Найдем время, необходимое для обгона на два круга, используя ту же скорость сближения $v_{сближения} = 1$ км/ч.

$t_{обгона2} = \frac{L_{два}}{v_{сближения}} = \frac{0.8 \text{ км}}{1 \text{ км/ч}} = 0.8$ часа.

3. Сравним это время с общим временем гонки $t_{гонки} = \frac{10}{21}$ часа.

$t_{обгона2} = 0.8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ часа.

Приведем дроби к общему знаменателю $105$:

$t_{обгона2} = \frac{4 \times 21}{105} = \frac{84}{105}$ часа.

$t_{гонки} = \frac{50}{105}$ часа.

Так как $\frac{84}{105} > \frac{50}{105}$, то $t_{обгона2} > t_{гонки}$. Это означает, что гонка закончится раньше, чем второй конькобежец успеет обогнать первого на два круга.

Ответ: нет, на два круга не обгонит.