Номер 1287, страница 249 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1287, страница 249.

Условие.

1287. Предание повествует, что царь Гиерон поручил мастеру изготовить корону и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда корона была доставлена, взвешивание показало, что она весит столько же, сколько весили золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и серебра заключает изготовленная корона. Архимед решил задачу, исходя из того, что чистое золото при взвешивании в воде теряет двадцатую долю своего веса, а серебро — десятую долю. Определите, сколько золота утаил мастер, если ему выдали 8 кг золота и 2 кг серебра, а корона весила в воде $9\frac{1}{4}$ кг.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения задачи составим уравнение, основанное на потере веса короны при погружении в воду.

1. Определение общего веса короны и ее потери веса в воде

Мастеру было выдано $8$ кг золота и $2$ кг серебра. Общий вес материалов, а следовательно, и вес короны в воздухе, составляет:

$P_{возд} = 8 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 10 \text{ кг}$

По условию, вес короны в воде составляет $9 \frac{1}{4}$ кг. Потеря веса короны в воде равна разности ее веса в воздухе и веса в воде:

$\Delta P = P_{возд} - P_{воды} = 10 - 9 \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \text{ кг}$

2. Составление уравнения

Пусть мастер утаил $x$ кг золота. Чтобы общий вес короны остался прежним, он должен был заменить украденное золото таким же количеством серебра. Таким образом, в короне оказалось:

• Масса золота: $(8 - x)$ кг
• Масса серебра: $(2 + x)$ кг

Потеря веса каждого металла в воде пропорциональна его массе:

• Потеря веса золота в воде: $\frac{1}{20}$ от его массы, то есть $\frac{1}{20}(8 - x)$ кг.
• Потеря веса серебра в воде: $\frac{1}{10}$ от его массы, то есть $\frac{1}{10}(2 + x)$ кг.

Общая потеря веса короны в воде — это сумма потерь веса ее составляющих. Мы уже вычислили, что она равна $\frac{3}{4}$ кг. Составим уравнение:

$\frac{1}{20}(8 - x) + \frac{1}{10}(2 + x) = \frac{3}{4}$

3. Решение уравнения

Для удобства умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей $20$, $10$ и $4$, то есть на $20$:

$20 \cdot \left( \frac{8 - x}{20} + \frac{2 + x}{10} \right) = 20 \cdot \frac{3}{4}$

$(8 - x) + 2(2 + x) = 5 \cdot 3$

Раскроем скобки:

$8 - x + 4 + 2x = 15$

Приведем подобные слагаемые:

$12 + x = 15$

$x = 15 - 12$

$x = 3$

Таким образом, мастер утаил $3$ кг золота.

Ответ: мастер утаил $3$ кг золота.