Номер 1286, страница 249 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1286, страница 249.

Условие.

1286. Студент за 5 лет учёбы сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов было на четвёртом курсе?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Обозначим количество экзаменов, которые студент сдавал каждый год, как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ для первого, второго, третьего, четвертого и пятого курсов соответственно.

Из условий задачи мы можем составить систему уравнений и неравенств:

1. Общее количество экзаменов: $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 31$.
2. Количество экзаменов каждый год увеличивалось (поскольку это целые числа): $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$.
3. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом: $a_5 = 3a_1$.

Подставим третье условие в первое:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + 3a_1 = 31$

$4a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 31$

Теперь используем неравенство $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$. Так как количество экзаменов — целое число, мы можем записать минимально возможные значения для $a_2, a_3, a_4, a_5$ через $a_1$:

• $a_2 \geq a_1 + 1$
• $a_3 \geq a_2 + 1 \geq a_1 + 2$
• $a_4 \geq a_3 + 1 \geq a_1 + 3$
• $a_5 \geq a_4 + 1 \geq a_1 + 4$

Из последнего неравенства и условия $a_5 = 3a_1$ получаем:

$3a_1 \geq a_1 + 4$

$2a_1 \geq 4$

$a_1 \geq 2$

Теперь найдем верхнюю границу для $a_1$. Подставим минимально возможные значения $a_2, a_3, a_4$ в уравнение суммы:

$4a_1 + (a_1+1) + (a_1+2) + (a_1+3) \leq 31$

$7a_1 + 6 \leq 31$

$7a_1 \leq 25$

$a_1 \leq \frac{25}{7} \approx 3.57$

Таким образом, $a_1$ — это целое число, для которого выполняется условие $2 \leq a_1 \leq 3$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $a_1 = 2$

Если $a_1 = 2$, то $a_5 = 3 \times 2 = 6$.

Сумма экзаменов за 2, 3 и 4 курсы будет:

$a_2 + a_3 + a_4 = 31 - a_1 - a_5 = 31 - 2 - 6 = 23$.

При этом должно выполняться неравенство $2 < a_2 < a_3 < a_4 < 6$. Единственные целые числа в этом промежутке — это 3, 4 и 5. Их сумма $3+4+5=12$, что не равно 23. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $a_1 = 3$

Если $a_1 = 3$, то $a_5 = 3 \times 3 = 9$.

Сумма экзаменов за 2, 3 и 4 курсы будет:

$a_2 + a_3 + a_4 = 31 - a_1 - a_5 = 31 - 3 - 9 = 19$.

При этом должно выполняться неравенство $3 < a_2 < a_3 < a_4 < 9$. Нам нужно найти три разных целых числа из диапазона {4, 5, 6, 7, 8}, сумма которых равна 19.

Путем подбора находим два возможных варианта:

• $a_2=4, a_3=7, a_4=8$. Сумма: $4+7+8=19$. Последовательность: 3, 4, 7, 8, 9.
• $a_2=5, a_3=6, a_4=8$. Сумма: $5+6+8=19$. Последовательность: 3, 5, 6, 8, 9.

В обоих допустимых вариантах количество экзаменов на четвёртом курсе ($a_4$) одинаково и равно 8.

Ответ: на четвёртом курсе было 8 экзаменов.