Номер 1279, страница 248 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1279, страница 248.

Условие.

1279. Разрежьте прямоугольник по прямой линии на две части так, чтобы из них можно было сложить треугольник. Найдите два различных решения задачи.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Первый способ

Пусть имеется прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$.

1. Разрез: Проведем прямую линию по диагонали прямоугольника, например, $AC$. Этот разрез делит прямоугольник на два полностью одинаковых прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Катеты каждого из этих треугольников равны сторонам прямоугольника $a$ и $b$.

2. Сборка: Возьмем полученные треугольники и сложим их вместе по одному из катетов. Например, приложим катет $AD$ треугольника $\triangle ADC$ к катету $BC$ треугольника $\triangle ABC$. Так как длины этих катетов равны ($AD = BC = b$), они идеально совпадут. Для этого необходимо совместить вершину $D$ с вершиной $B$, а вершину $A$ (из $\triangle ADC$) с вершиной $C$ (из $\triangle ABC$).

3. Результат: В результате такой операции получится равнобедренный треугольник. Одна его сторона будет образована сторонами $AB$ и $CD$ (которые после совмещения лягут на одну прямую), и ее длина составит $a+a=2a$. Две другие стороны будут равны гипотенузе $AC$ исходных треугольников. Высота полученного треугольника, опущенная на основание длиной $2a$, будет равна $b$. Площадь этого треугольника составит $S = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot b = ab$, что в точности равно площади исходного прямоугольника.

Таким же образом, если совместить треугольники по катетам длиной $a$, получится другой равнобедренный треугольник с основанием $2b$ и высотой $a$.

Ответ: Прямоугольник разрезается по диагонали на два прямоугольных треугольника. Затем эти треугольники совмещаются по одному из равных катетов, образуя равнобедренный треугольник.

Второй способ

Пусть имеется прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$.

1. Разрез: Найдем середину одной из сторон прямоугольника, например, точку $M$ на стороне $BC$. Проведем прямую линию от вершины $A$ к точке $M$. Этот разрез делит прямоугольник на две части: прямоугольный треугольник $\triangle ABM$ (с прямым углом при вершине $B$) и трапецию $ADCM$.

2. Сборка: Возьмем треугольник $\triangle ABM$ и повернем его на $180^\circ$ вокруг точки $M$. Поскольку $M$ является серединой стороны $BC$, отрезки $BM$ и $MC$ равны. При таком повороте сторона $BM$ треугольника совместится со стороной $MC$ трапеции. Вершина $B$ перейдет в точку $C$, а вершина $A$ — в некоторую новую точку $A'$.

3. Результат: В результате сложения получится новый треугольник с вершинами в точках $A$, $D$ и $A'$. Стороны $DC$ и $CA'$ (которая является повернутой стороной $AB$) окажутся на одной прямой и образуют одну из сторон нового треугольника. Две другие стороны треугольника — это $AD$ и $AA'$. Площадь полученной фигуры равна сумме площадей ее частей, то есть площади исходного прямоугольника.

Ответ: Прямоугольник разрезается по линии, соединяющей одну из его вершин с серединой противоположной стороны. Затем отсеченный треугольник поворачивается на $180^\circ$ вокруг этой середины и приставляется к оставшейся части (трапеции) так, чтобы образовался один большой треугольник.