Номер 1275, страница 248 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1275, страница 248.

Условие.

1275. Задача Л. Эйлера.

Мул и осёл несли груз весом в несколько сотен каких-то единиц. Осёл, жалуясь на свою судьбу, сказал мулу: «Мне нужно только сто единиц твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тяжелее твоей». $O + 100 = 2(M - 100)$

На это мул ему ответил: «Да, это так, но если бы ты мне отдал сто единиц из твоей ноши, то я был бы нагружен втрое больше тебя». $M + 100 = 3(O - 100)$

Какого веса была ноша осла и ноша мула?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения задачи обозначим вес ноши осла через $x$, а вес ноши мула — через $y$.

Исходя из слов осла: «Мне нужно только сто единиц твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тяжелее твоей», составим первое уравнение. Если мул отдаст ослу 100 единиц, у осла станет $x + 100$ единиц, а у мула останется $y - 100$ единиц. По условию, ноша осла станет в два раза тяжелее ноши мула. Получаем уравнение:

$x + 100 = 2 \cdot (y - 100)$

Исходя из слов мула: «...если бы ты мне отдал сто единиц из твоей ноши, то я был бы нагружен втрое больше тебя», составим второе уравнение. Если осел отдаст мулу 100 единиц, у мула станет $y + 100$ единиц, а у осла останется $x - 100$ единиц. По условию, ноша мула станет в три раза тяжелее ноши осла. Получаем уравнение:

$y + 100 = 3 \cdot (x - 100)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 100 = 3(x - 100) \end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} x + 100 = 2y - 200 \\ y + 100 = 3x - 300 \end{cases}$

Упростим уравнения, перенеся переменные в левую часть, а числа — в правую:

$\begin{cases} x - 2y = -200 - 100 \\ -3x + y = -300 - 100 \end{cases}$

$\begin{cases} x - 2y = -300 \\ -3x + y = -400 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 2y - 300$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$-3(2y - 300) + y = -400$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$-6y + 900 + y = -400$

$-5y = -400 - 900$

$-5y = -1300$

$y = \frac{-1300}{-5}$

$y = 260$

Мы нашли вес ноши мула. Теперь найдем вес ноши осла ($x$), подставив значение $y=260$ в выражение для $x$:

$x = 2(260) - 300$

$x = 520 - 300$

$x = 220$

Таким образом, ноша осла весила 220 единиц, а ноша мула — 260 единиц.

Сделаем проверку:

1. Если мул (260) отдаст 100 единиц ослу (220), то у осла станет $220 + 100 = 320$, а у мула останется $260 - 100 = 160$. При этом $320 = 2 \cdot 160$. Первое условие выполняется.

2. Если осел (220) отдаст 100 единиц мулу (260), то у мула станет $260 + 100 = 360$, а у осла останется $220 - 100 = 120$. При этом $360 = 3 \cdot 120$. Второе условие также выполняется.

Ответ: ноша осла весила 220 единиц, а ноша мула — 260 единиц.