Номер 1277, страница 248 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1277, страница 248.

Условие.

1277. Кузнечик прыгает по прямой большими прыжками по 12 см и малыми прыжками по 7 см. Сможет ли кузнечик из одной точки прямой попасть в другую, если расстояние между ними 3 см?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Да, кузнечик сможет попасть в точку, находящуюся на расстоянии 3 см от начальной. Для этого ему нужно совершать прыжки в разных направлениях.

Пусть прыжки в одну сторону (например, вправо) мы считаем положительными, а прыжки в противоположную сторону (влево) — отрицательными. Нам нужно найти такую комбинацию больших и малых прыжков, чтобы итоговое смещение составило 3 см.

Обозначим количество больших прыжков по 12 см как x, а количество малых прыжков по 7 см как y. Тогда итоговое смещение можно выразить формулой:

$S = 12x + 7y$

Нам нужно, чтобы смещение S было равно 3 см. То есть, необходимо найти целые числа x и y, для которых выполняется равенство:

$12x + 7y = 3$

Это линейное диофантово уравнение. Такое уравнение имеет решение в целых числах, если наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов (12 и 7) делит свободный член (3). Поскольку числа 12 и 7 взаимно простые, их $НОД(12, 7) = 1$. Единица делит любое целое число, включая 3, значит, решение существует.

Найдем одно из возможных решений подбором. Например, кузнечик может сделать 2 больших прыжка вправо и 3 малых прыжка влево. Рассчитаем итоговое смещение:

$2 \cdot 12 + (-3) \cdot 7 = 24 - 21 = 3$ см.

Таким образом, совершив два больших прыжка в одну сторону и три малых в обратную, кузнечик окажется на расстоянии 3 см от исходной точки.

Ответ: да, сможет.