Страница 248 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1273. Задача Бхаскары. Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество рупий у первого человека, а $y$ — количество рупий у его друга.

Исходя из первого условия, «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя», составим первое уравнение. Если друг отдаст 100 рупий, то у первого человека станет $x + 100$ рупий, а у друга останется $y - 100$ рупий. Состояние первого будет в два раза больше состояния второго:
$x + 100 = 2(y - 100)$

Исходя из второго условия, «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя», составим второе уравнение. Если первый человек отдаст 10 рупий, то у него останется $x - 10$ рупий, а у друга станет $y + 10$ рупий. Состояние друга будет в шесть раз больше состояния первого:
$y + 10 = 6(x - 10)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases}$

Упростим оба уравнения:
1) $x + 100 = 2y - 200 \implies x - 2y = -300$
2) $y + 10 = 6x - 60 \implies -6x + y = -70$

Теперь решим получившуюся систему:
$\begin{cases} x - 2y = -300 \\ -6x + y = -70 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = 6x - 70$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:
$x - 2(6x - 70) = -300$
$x - 12x + 140 = -300$
$-11x = -300 - 140$
$-11x = -440$
$x = \frac{-440}{-11}$
$x = 40$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x = 40$ в выражение для $y$:
$y = 6(40) - 70$
$y = 240 - 70$
$y = 170$

Таким образом, у первого человека было 40 рупий, а у его друга — 170 рупий.

Проверим найденные значения.
1. Если друг даст 100 рупий первому, у него станет $170 - 100 = 70$, а у первого будет $40 + 100 = 140$. $140 = 2 \cdot 70$, что соответствует первому условию.
2. Если первый даст 10 рупий другу, у него останется $40 - 10 = 30$, а у друга станет $170 + 10 = 180$. $180 = 6 \cdot 30$, что соответствует второму условию.

Ответ: у первого человека было 40 рупий, а у его друга — 170 рупий.

1274. (Греция.) Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Чего ты жалуешься, — сказал мул, — если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются». Сколько мешков было у каждого?

$y + 1 = 2(x - 1)$

$x + 1 = y - 1$

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть у ослицы было $О$ мешков, а у мула — $М$ мешков.

Условие 1: «если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей»

Когда ослица отдает один мешок, у нее остается $О - 1$ мешок. Мул получает этот мешок, и у него становится $М + 1$ мешок. Согласно условию, ноша мула становится в два раза больше ноши ослицы. Получаем первое уравнение:

$М + 1 = 2 \cdot (О - 1)$

Условие 2: «а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются»

Когда мул отдает один мешок, у него остается $М - 1$ мешок. Ослица получает этот мешок, и у нее становится $О + 1$ мешок. Их грузы становятся равными. Получаем второе уравнение:

$М - 1 = О + 1$

Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} М + 1 = 2(О - 1) \\ М - 1 = О + 1 \end{cases} $

Из второго уравнения легко выразить $М$ через $О$:

$М = О + 1 + 1$

$М = О + 2$

Теперь подставим это выражение для $М$ в первое уравнение:

$(О + 2) + 1 = 2(О - 1)$

Упростим и решим полученное уравнение:

$О + 3 = 2О - 2$

$3 + 2 = 2О - О$

$О = 5$

Мы нашли, что у ослицы было 5 мешков. Теперь найдем, сколько мешков было у мула, используя формулу $М = О + 2$:

$М = 5 + 2$

$М = 7$

Таким образом, у мула было 7 мешков.

Проверка:

1. Если ослица (5 мешков) отдает мулу (7 мешков) один мешок, у нее останется 4, а у мула станет 8. Действительно, $8 = 2 \cdot 4$.

2. Если мул (7 мешков) отдает ослице (5 мешков) один мешок, у него останется 6, и у ослицы станет 6. Их грузы сравняются.

Все условия выполняются.

Ответ: У ослицы было 5 мешков, а у мула — 7 мешков.

1275. Задача Л. Эйлера.

Мул и осёл несли груз весом в несколько сотен каких-то единиц. Осёл, жалуясь на свою судьбу, сказал мулу: «Мне нужно только сто единиц твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тяжелее твоей». $O + 100 = 2(M - 100)$

На это мул ему ответил: «Да, это так, но если бы ты мне отдал сто единиц из твоей ноши, то я был бы нагружен втрое больше тебя». $M + 100 = 3(O - 100)$

Какого веса была ноша осла и ноша мула?

Для решения задачи обозначим вес ноши осла через $x$, а вес ноши мула — через $y$.

Исходя из слов осла: «Мне нужно только сто единиц твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тяжелее твоей», составим первое уравнение. Если мул отдаст ослу 100 единиц, у осла станет $x + 100$ единиц, а у мула останется $y - 100$ единиц. По условию, ноша осла станет в два раза тяжелее ноши мула. Получаем уравнение:

$x + 100 = 2 \cdot (y - 100)$

Исходя из слов мула: «...если бы ты мне отдал сто единиц из твоей ноши, то я был бы нагружен втрое больше тебя», составим второе уравнение. Если осел отдаст мулу 100 единиц, у мула станет $y + 100$ единиц, а у осла останется $x - 100$ единиц. По условию, ноша мула станет в три раза тяжелее ноши осла. Получаем уравнение:

$y + 100 = 3 \cdot (x - 100)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 100 = 3(x - 100) \end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} x + 100 = 2y - 200 \\ y + 100 = 3x - 300 \end{cases}$

Упростим уравнения, перенеся переменные в левую часть, а числа — в правую:

$\begin{cases} x - 2y = -200 - 100 \\ -3x + y = -300 - 100 \end{cases}$

$\begin{cases} x - 2y = -300 \\ -3x + y = -400 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 2y - 300$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$-3(2y - 300) + y = -400$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$-6y + 900 + y = -400$

$-5y = -400 - 900$

$-5y = -1300$

$y = \frac{-1300}{-5}$

$y = 260$

Мы нашли вес ноши мула. Теперь найдем вес ноши осла ($x$), подставив значение $y=260$ в выражение для $x$:

$x = 2(260) - 300$

$x = 520 - 300$

$x = 220$

Таким образом, ноша осла весила 220 единиц, а ноша мула — 260 единиц.

Сделаем проверку:

1. Если мул (260) отдаст 100 единиц ослу (220), то у осла станет $220 + 100 = 320$, а у мула останется $260 - 100 = 160$. При этом $320 = 2 \cdot 160$. Первое условие выполняется.

2. Если осел (220) отдаст 100 единиц мулу (260), то у мула станет $260 + 100 = 360$, а у осла останется $220 - 100 = 120$. При этом $360 = 3 \cdot 120$. Второе условие также выполняется.

Ответ: ноша осла весила 220 единиц, а ноша мула — 260 единиц.

1276. Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моём возрасте. Когда мне будет столько лет, сколько теперь брату, то нам вместе будет 98 лет. Сколько лет каждому?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $M$ – мой возраст сейчас, а $B$ – возраст моего брата сейчас.

Анализ первого условия: «Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моём возрасте».
Из этого условия следует, что брат старше меня. Разница в возрасте между нами постоянна и составляет $B - M$ лет. Мой брат был в моём нынешнем возрасте ($M$ лет) ровно $B - M$ лет назад. В то время мне было $M - (B - M) = 2M - B$ лет. По условию, мой текущий возраст в два раза больше, чем тот, что был у меня тогда. Составим первое уравнение:
$M = 2 \cdot (2M - B)$
$M = 4M - 2B$
$3M = 2B$

Анализ второго условия: «Когда мне будет столько лет, сколько теперь брату, то нам вместе будет 98 лет».
Мне исполнится столько же лет, сколько брату сейчас ($B$ лет), через $B - M$ лет. К тому моменту мой возраст будет $M + (B - M) = B$ лет, а возраст моего брата будет $B + (B - M) = 2B - M$ лет. Сумма их возрастов будет равна 98. Составим второе уравнение:
$B + (2B - M) = 98$
$3B - M = 98$

Решение системы уравнений:
Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} 3M = 2B \\ 3B - M = 98 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $M$: $M = \frac{2}{3}B$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3B - \frac{2}{3}B = 98$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{9B - 2B}{3} = 98$
$\frac{7B}{3} = 98$
$7B = 98 \cdot 3$
$7B = 294$
$B = \frac{294}{7} = 42$
Итак, возраст брата – 42 года. Теперь найдем мой возраст, подставив значение $B$ в выражение для $M$:
$M = \frac{2}{3} \cdot 42 = 2 \cdot 14 = 28$
Таким образом, мне сейчас 28 лет.

Ответ: Мне 28 лет, брату 42 года.

1277. Кузнечик прыгает по прямой большими прыжками по 12 см и малыми прыжками по 7 см. Сможет ли кузнечик из одной точки прямой попасть в другую, если расстояние между ними 3 см?

Да, кузнечик сможет попасть в точку, находящуюся на расстоянии 3 см от начальной. Для этого ему нужно совершать прыжки в разных направлениях.

Пусть прыжки в одну сторону (например, вправо) мы считаем положительными, а прыжки в противоположную сторону (влево) — отрицательными. Нам нужно найти такую комбинацию больших и малых прыжков, чтобы итоговое смещение составило 3 см.

Обозначим количество больших прыжков по 12 см как x, а количество малых прыжков по 7 см как y. Тогда итоговое смещение можно выразить формулой:

$S = 12x + 7y$

Нам нужно, чтобы смещение S было равно 3 см. То есть, необходимо найти целые числа x и y, для которых выполняется равенство:

$12x + 7y = 3$

Это линейное диофантово уравнение. Такое уравнение имеет решение в целых числах, если наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов (12 и 7) делит свободный член (3). Поскольку числа 12 и 7 взаимно простые, их $НОД(12, 7) = 1$. Единица делит любое целое число, включая 3, значит, решение существует.

Найдем одно из возможных решений подбором. Например, кузнечик может сделать 2 больших прыжка вправо и 3 малых прыжка влево. Рассчитаем итоговое смещение:

$2 \cdot 12 + (-3) \cdot 7 = 24 - 21 = 3$ см.

Таким образом, совершив два больших прыжка в одну сторону и три малых в обратную, кузнечик окажется на расстоянии 3 см от исходной точки.

Ответ: да, сможет.

1278. Кузнечик прыгает по плоскости в любом направлении прыжками по 12 см. Сможет ли кузнечик из одной точки плоскости попасть в другую, если расстояние между ними 10 см?

Да, сможет. Для этого кузнечику потребуется совершить два прыжка.

Пусть начальная точка — A, а конечная точка — B. Расстояние между ними по условию составляет $10$ см. Длина каждого прыжка кузнечика равна $12$ см.

Кузнечик не может попасть из точки A в точку B за один прыжок, так как длина прыжка ($12$ см) не равна расстоянию между точками ($10$ см).

Рассмотрим возможность сделать это за два прыжка. Кузнечик может совершить первый прыжок из точки A в некоторую промежуточную точку C. Длина этого прыжка составит $12$ см, то есть расстояние $AC = 12$ см. Затем из точки C кузнечик может совершить второй прыжок в точку B. Длина этого прыжка также составит $12$ см, то есть расстояние $CB = 12$ см.

В результате мы получаем треугольник ABC, у которого известны длины всех трех сторон: $AB = 10$ см, $AC = 12$ см, и $CB = 12$ см. Чтобы выяснить, возможна ли такая последовательность прыжков, нужно проверить, может ли существовать такой треугольник. Для этого воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Проверим это условие для нашего случая. Первая проверка: $AC + CB > AB$, что дает $12 + 12 > 10$, или $24 > 10$. Это верно. Вторая проверка: $AB + AC > CB$, что дает $10 + 12 > 12$, или $22 > 12$. Это также верно. Так как треугольник равнобедренный ($AC = CB$), третья проверка даст тот же результат.

Поскольку все условия неравенства треугольника выполняются, такой треугольник существует. Это означает, что существует такая точка C, в которую кузнечик может прыгнуть из A, а затем из нее прыгнуть в B.

Таким образом, кузнечик может попасть из одной точки в другую за два прыжка.

Ответ: Да, сможет.

1279. Разрежьте прямоугольник по прямой линии на две части так, чтобы из них можно было сложить треугольник. Найдите два различных решения задачи.

Первый способ

Пусть имеется прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$.

1. Разрез: Проведем прямую линию по диагонали прямоугольника, например, $AC$. Этот разрез делит прямоугольник на два полностью одинаковых прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Катеты каждого из этих треугольников равны сторонам прямоугольника $a$ и $b$.

2. Сборка: Возьмем полученные треугольники и сложим их вместе по одному из катетов. Например, приложим катет $AD$ треугольника $\triangle ADC$ к катету $BC$ треугольника $\triangle ABC$. Так как длины этих катетов равны ($AD = BC = b$), они идеально совпадут. Для этого необходимо совместить вершину $D$ с вершиной $B$, а вершину $A$ (из $\triangle ADC$) с вершиной $C$ (из $\triangle ABC$).

3. Результат: В результате такой операции получится равнобедренный треугольник. Одна его сторона будет образована сторонами $AB$ и $CD$ (которые после совмещения лягут на одну прямую), и ее длина составит $a+a=2a$. Две другие стороны будут равны гипотенузе $AC$ исходных треугольников. Высота полученного треугольника, опущенная на основание длиной $2a$, будет равна $b$. Площадь этого треугольника составит $S = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot b = ab$, что в точности равно площади исходного прямоугольника.

Таким же образом, если совместить треугольники по катетам длиной $a$, получится другой равнобедренный треугольник с основанием $2b$ и высотой $a$.

Ответ: Прямоугольник разрезается по диагонали на два прямоугольных треугольника. Затем эти треугольники совмещаются по одному из равных катетов, образуя равнобедренный треугольник.

Второй способ

Пусть имеется прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$.

1. Разрез: Найдем середину одной из сторон прямоугольника, например, точку $M$ на стороне $BC$. Проведем прямую линию от вершины $A$ к точке $M$. Этот разрез делит прямоугольник на две части: прямоугольный треугольник $\triangle ABM$ (с прямым углом при вершине $B$) и трапецию $ADCM$.

2. Сборка: Возьмем треугольник $\triangle ABM$ и повернем его на $180^\circ$ вокруг точки $M$. Поскольку $M$ является серединой стороны $BC$, отрезки $BM$ и $MC$ равны. При таком повороте сторона $BM$ треугольника совместится со стороной $MC$ трапеции. Вершина $B$ перейдет в точку $C$, а вершина $A$ — в некоторую новую точку $A'$.

3. Результат: В результате сложения получится новый треугольник с вершинами в точках $A$, $D$ и $A'$. Стороны $DC$ и $CA'$ (которая является повернутой стороной $AB$) окажутся на одной прямой и образуют одну из сторон нового треугольника. Две другие стороны треугольника — это $AD$ и $AA'$. Площадь полученной фигуры равна сумме площадей ее частей, то есть площади исходного прямоугольника.

Ответ: Прямоугольник разрезается по линии, соединяющей одну из его вершин с серединой противоположной стороны. Затем отсеченный треугольник поворачивается на $180^\circ$ вокруг этой середины и приставляется к оставшейся части (трапеции) так, чтобы образовался один большой треугольник.

1280. a) Тротуар шириной 3 м и длиной 60 м выстилают бетонными плитами, каждая из которых имеет форму квадрата со стороной 50 см. Сколько потребуется плит?

б) Пол в ванной комнате выстилают керамическими плитками, каждая из которых имеет форму квадрата со стороной 12 см. Сколько нужно купить упаковок плиток по 48 плиток в каждой, если размеры пола ванной комнаты 1 м 80 см и 1 м 50 см? Учтите, что в ванной комнате мастера делают бортик высотой в полплитки и умеют резать керамические плитки на части.

а)

Для решения задачи сперва необходимо привести все единицы измерения к одной системе. Удобнее всего перевести метры в сантиметры.
Ширина тротуара: $3 \text{ м} = 3 \times 100 = 300 \text{ см}$.
Длина тротуара: $60 \text{ м} = 60 \times 100 = 6000 \text{ см}$.
Сторона одной бетонной плитки: $50 \text{ см}$.

Теперь рассчитаем, сколько плиток поместится по ширине и по длине тротуара.
Количество плиток по ширине: $N_{ширина} = \frac{300 \text{ см}}{50 \text{ см}} = 6$ плиток.
Количество плиток по длине: $N_{длина} = \frac{6000 \text{ см}}{50 \text{ см}} = 120$ плиток.

Чтобы найти общее количество плиток, необходимое для покрытия всего тротуара, нужно перемножить количество плиток, укладываемых по ширине, на количество плиток, укладываемых по длине.
Общее количество плиток: $N_{общ} = N_{ширина} \times N_{длина} = 6 \times 120 = 720$ плиток.

Ответ: 720 плит.

б)

Для начала переведем все размеры в сантиметры для удобства расчетов.
Размеры пола ванной комнаты: $1 \text{ м } 80 \text{ см} = 180 \text{ см}$ и $1 \text{ м } 50 \text{ см} = 150 \text{ см}$.
Сторона одной керамической плитки: $12 \text{ см}$.

Задача состоит из двух частей: расчет плитки для пола и расчет плитки для бортика.

1. Расчет количества плиток для пола.
Поскольку плитку можно резать, рассчитаем общую площадь пола и разделим ее на площадь одной плитки. Результат округлим в большую сторону.
Площадь пола: $S_{пол} = 180 \text{ см} \times 150 \text{ см} = 27000 \text{ см}^2$.
Площадь одной плитки: $S_{плитка} = 12 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 144 \text{ см}^2$.
Необходимое количество плиток для пола: $N_{пол} = \frac{S_{пол}}{S_{плитка}} = \frac{27000}{144} = 187.5$.
Так как плитки продаются целиком, для покрытия пола потребуется $188$ плиток.

2. Расчет количества плиток для бортика.
Бортик укладывается по периметру комнаты. Его высота равна половине плитки: $12 \text{ см} / 2 = 6 \text{ см}$.
Периметр ванной комнаты: $P = 2 \times (180 \text{ см} + 150 \text{ см}) = 2 \times 330 \text{ см} = 660 \text{ см}$.
Чтобы выложить бортик, плитки режут пополам. Длина одного такого кусочка будет $12 \text{ см}$. Рассчитаем, сколько таких кусочков нужно для всего периметра.
Количество кусочков для бортика: $\frac{660 \text{ см}}{12 \text{ см}} = 55$ кусочков.
Из одной целой плитки $12 \times 12$ см можно сделать два кусочка для бортика размером $12 \times 6$ см.
Необходимое количество целых плиток для бортика: $N_{бортик} = \frac{55}{2} = 27.5$.
Округляем до целого в большую сторону, так как нужно купить целые плитки. Потребуется $28$ плиток.

3. Общее количество плиток и расчет упаковок.
Суммарное количество плиток для пола и бортика: $N_{общ} = N_{пол} + N_{бортик} = 188 + 28 = 216$ плиток.
Плитки продаются в упаковках по $48$ штук.
Количество необходимых упаковок: $\frac{N_{общ}}{48} = \frac{216}{48} = 4.5$.
Поскольку купить половину упаковки нельзя, необходимо приобрести $5$ упаковок.

Ответ: 5 упаковок.