Страница 245 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1244. Задача Д. Пойи. Торговец продаёт орехи двух сортов: одни по 90 центов, другие по 60 центов за килограмм. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?

Для решения этой задачи введём переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — количество килограммов орехов первого сорта (по 90 центов за кг), а $y$ — количество килограммов орехов второго сорта (по 60 центов за кг).

По условию, общая масса смеси должна составить 50 кг. На основе этого мы можем составить первое уравнение:
$x + y = 50$

Общая стоимость всей смеси равна произведению её массы на цену за килограмм: $50 \text{ кг} \cdot 72 \text{ цента/кг} = 3600$ центов.

С другой стороны, общая стоимость смеси складывается из стоимости орехов каждого сорта: $90x$ центов за орехи первого сорта и $60y$ центов за орехи второго сорта. Таким образом, второе уравнение будет выглядеть так:
$90x + 60y = 3600$

Получаем систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = 50 \\ 90x + 60y = 3600 \end{cases}$

Для удобства разделим второе уравнение на 30:
$\frac{90x}{30} + \frac{60y}{30} = \frac{3600}{30}$
$3x + 2y = 120$

Теперь система выглядит так:
$\begin{cases} x + y = 50 \\ 3x + 2y = 120 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 50 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $y$:
$3(50 - y) + 2y = 120$
$150 - 3y + 2y = 120$
$150 - y = 120$
$y = 150 - 120$
$y = 30$

Таким образом, требуется 30 кг орехов второго сорта (по 60 центов).

Теперь найдём $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:
$x + 30 = 50$
$x = 50 - 30$
$x = 20$

Следовательно, требуется 20 кг орехов первого сорта (по 90 центов).

Проверим результат:
Масса: $20 \text{ кг} + 30 \text{ кг} = 50 \text{ кг}$.
Стоимость: $20 \cdot 90 + 30 \cdot 60 = 1800 + 1800 = 3600$ центов.
Цена за килограмм смеси: $3600 / 50 = 72$ цента. Всё верно.

Ответ: для получения смеси потребуется 20 кг орехов по 90 центов и 30 кг орехов по 60 центов.

1245. Пешеход прошёл расстояние между сёлами со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Если бы он проходил в час на $1 \text{ км}$ больше, то ему потребовалось бы на тот же путь на $1 \text{ ч}$ меньше. Сколько времени шёл пешеход и какой путь он прошёл?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $t$ (ч) - время, которое пешеход изначально затратил на путь.
• Пусть $S$ (км) - расстояние между сёлами.

Начальная скорость пешехода $v_1 = 4$ км/ч. Расстояние, которое он прошёл, можно выразить формулой: $S = v_1 \cdot t = 4t$.

Согласно условию, если бы скорость пешехода была на 1 км/ч больше, то есть $v_2 = 4 + 1 = 5$ км/ч, он бы затратил на 1 час меньше, то есть $t_2 = t - 1$ ч.

Расстояние $S$ при этих условиях можно выразить как: $S = v_2 \cdot t_2 = 5(t - 1)$.

Поскольку расстояние в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять два выражения для $S$ и составить уравнение:

$4t = 5(t - 1)$

Сколько времени шёл пешеход

Решим полученное уравнение, чтобы найти первоначальное время $t$:

$4t = 5t - 5$

$5t - 4t = 5$

$t = 5$ (ч)

Следовательно, пешеход шёл 5 часов.

Ответ: 5 часов.

Какой путь он прошёл

Теперь, зная время, мы можем найти расстояние $S$, подставив значение $t$ в любую из формул для пути.

Используем первую формулу:

$S = 4t = 4 \cdot 5 = 20$ (км)

Для проверки можно использовать вторую формулу:

$S = 5(t - 1) = 5(5 - 1) = 5 \cdot 4 = 20$ (км)

Результаты совпадают, значит, расстояние равно 20 км.

Ответ: 20 км.

1246. Поезд прошёл расстояние между двумя городами со скоростью $80 \text{ км/ч}$. Если бы его скорость была на $20 \text{ км/ч}$ меньше, то ему потребовалось бы на эту поездку на $1 \text{ ч}$ больше. Найдите расстояние между двумя городами.

Пусть искомое расстояние между городами равно $S$ км, а первоначальное время, затраченное на поездку, равно $t$ часов.

Используем основную формулу движения: расстояние равно произведению скорости на время ($S = v \cdot t$).

По условию задачи, первоначальная скорость поезда $v_1 = 80$ км/ч. Тогда расстояние можно выразить как:
$S = 80t$

Далее рассматривается гипотетическая ситуация. Если бы скорость была на 20 км/ч меньше, то новая скорость $v_2$ составила бы:
$v_2 = 80 - 20 = 60$ км/ч.

В этом случае поездка заняла бы на 1 час больше, то есть новое время $t_2$ было бы:
$t_2 = t + 1$ ч.

Расстояние $S$ при этих условиях можно выразить так:
$S = v_2 \cdot t_2 = 60(t + 1)$

Так как расстояние между городами в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять два полученных выражения для $S$:
$80t = 60(t + 1)$

Решим это уравнение относительно $t$:
$80t = 60t + 60$
$80t - 60t = 60$
$20t = 60$
$t = \frac{60}{20}$
$t = 3$ (ч)

Итак, первоначальное время в пути составляло 3 часа. Теперь найдем расстояние, подставив значение $t$ в первое уравнение:
$S = 80 \cdot 3 = 240$ (км).

Ответ: 240 км.

1247. Тракторист может вспахать поле за 5 дней. Увеличив выработку на 2,5 га в день, он выполнил работу за 4 дня. Какова площадь поля?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ га/день — первоначальная выработка тракториста.

Тогда площадь поля $S$ можно выразить как произведение выработки на время. При работе в течение 5 дней площадь поля равна:

$S = 5x$

Тракторист увеличил выработку на 2,5 га в день, его новая выработка стала $(x + 2,5)$ га/день. С этой выработкой он выполнил работу за 4 дня. Площадь этого же поля можно выразить как:

$S = 4(x + 2,5)$

Поскольку речь идёт об одном и том же поле, мы можем приравнять оба выражения для площади $S$:

$5x = 4(x + 2,5)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти первоначальную выработку $x$:

$5x = 4x + 10$

$5x - 4x = 10$

$x = 10$

Таким образом, первоначальная выработка тракториста составляла 10 га в день.

Теперь, зная первоначальную выработку, найдём площадь поля, подставив значение $x$ в первую формулу:

$S = 5 \cdot 10 = 50$

Площадь поля равна 50 гектаров.

Ответ: 50 га.

1248. Чтобы выполнить задание к сроку, цех должен был в день изготавливать по 30 приборов. Повысив производительность труда, рабочие цеха стали изготавливать в день по 34 прибора и выполнили задание на 2 дня раньше срока. Сколько приборов нужно было изготовить по плану и за сколько дней?

Пусть $x$ — это количество дней, которое было запланировано для выполнения задания.

Согласно плану, цех должен был изготавливать по 30 приборов в день. Следовательно, общее количество приборов, которое необходимо было изготовить, можно выразить формулой: $30x$.

После повышения производительности рабочие стали изготавливать по 34 прибора в день и выполнили задание на 2 дня раньше срока. Это означает, что они работали $(x - 2)$ дня. За это время они изготовили $34(x - 2)$ приборов.

Поскольку общее количество изготовленных приборов в обоих случаях одинаково, мы можем составить уравнение, приравняв два этих выражения:

$30x = 34(x - 2)$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$30x = 34x - 68$

$34x - 30x = 68$

$4x = 68$

$x = \frac{68}{4}$

$x = 17$

Таким образом, по плану на выполнение задания отводилось 17 дней.

Теперь, зная плановое количество дней, мы можем рассчитать общее количество приборов, которое нужно было изготовить по плану:

Количество приборов = (плановая производительность в день) × (плановое количество дней)

$30 \times 17 = 510$ (приборов)

Проверим результат, используя фактические данные: $34 \times (17 - 2) = 34 \times 15 = 510$ приборов. Результаты совпадают.

Ответ: по плану нужно было изготовить 510 приборов за 17 дней.

1249. Завод получил заказ на изготовление некоторого числа машин к определённому сроку. Если завод будет выпускать ежедневно по 250 машин, то к сроку будет изготовлено на 1000 машин меньше, чем заказано. Если же завод будет выпускать ежедневно по 320 машин, то к сроку будет изготовлено на 400 машин больше, чем заказано. Сколько машин надо изготавливать в день, чтобы выполнить заказ в срок?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $N$ – общее количество машин в заказе.
• Пусть $t$ – количество дней, отведенное на выполнение заказа (срок).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Из первого условия: если завод выпускает по 250 машин в день, то за $t$ дней он изготовит $250 \cdot t$ машин. По условию, это на 1000 машин меньше, чем заказано. Получаем уравнение:

$250 \cdot t = N - 1000$

Отсюда можно выразить общее количество машин в заказе $N$:

$N = 250 \cdot t + 1000$ (1)

Из второго условия: если завод выпускает по 320 машин в день, то за $t$ дней он изготовит $320 \cdot t$ машин. По условию, это на 400 машин больше, чем заказано. Получаем второе уравнение:

$320 \cdot t = N + 400$

Выразим $N$ из этого уравнения:

$N = 320 \cdot t - 400$ (2)

Так как левые части уравнений (1) и (2) равны (обе равны $N$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти срок выполнения заказа $t$:

$250 \cdot t + 1000 = 320 \cdot t - 400$

Сгруппируем слагаемые с переменной $t$ в одной части уравнения, а числовые значения – в другой:

$1000 + 400 = 320 \cdot t - 250 \cdot t$

$1400 = 70 \cdot t$

Теперь найдем $t$:

$t = \frac{1400}{70} = 20$

Таким образом, срок выполнения заказа составляет 20 дней.

Теперь, когда мы знаем срок, мы можем найти общее количество машин в заказе ($N$), подставив значение $t=20$ в любое из двух первоначальных уравнений. Воспользуемся уравнением (1):

$N = 250 \cdot 20 + 1000$

$N = 5000 + 1000$

$N = 6000$

Итак, завод должен изготовить 6000 машин за 20 дней.

Вопрос задачи – сколько машин надо изготавливать в день, чтобы выполнить заказ в срок. Для этого нужно разделить общее количество машин на количество дней:

Дневная норма = $\frac{N}{t} = \frac{6000}{20} = 300$ машин в день.

Ответ: 300 машин.

1250. Если раздать учащимся по 1 тетради, останется 36 тетрадей, а если раздать по 3 тетради, не хватит 12. Сколько тетрадей и сколько учащихся?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество учащихся, а $y$ — это общее количество тетрадей.

Из первого условия "если раздать учащимся по 1 тетради, останется 36 тетрадей" следует, что общее количество тетрадей равно количеству учащихся плюс 36. Запишем это в виде уравнения:

$y = x + 36$

Из второго условия "а если раздать по 3 тетради, не хватит 12" следует, что если бы тетрадей было на 12 больше, их хватило бы ровно на всех учащихся по 3 штуки. Это можно записать как:

$y = 3x - 12$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Так как левые части обоих уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части:

$x + 36 = 3x - 12$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти количество учащихся ($x$):

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$36 + 12 = 3x - x$

$48 = 2x$

$x = 48 / 2$

$x = 24$

Таким образом, количество учащихся равно 24.

Теперь, зная количество учащихся, мы можем найти общее количество тетрадей ($y$), подставив значение $x$ в любое из первоначальных уравнений. Используем первое уравнение, так как оно проще:

$y = x + 36$

$y = 24 + 36$

$y = 60$

Итак, общее количество тетрадей равно 60.

Проверим полученные результаты:

• Если 60 тетрадей раздать 24 учащимся по одной, то будет использовано 24 тетради, и останется $60 - 24 = 36$ тетрадей. Это соответствует первому условию.
• Чтобы раздать 24 учащимся по три тетради, необходимо $24 \cdot 3 = 72$ тетради. Поскольку в наличии только 60, не хватает $72 - 60 = 12$ тетрадей. Это соответствует второму условию.

Ответ: 24 учащихся и 60 тетрадей.

1251. Ученики собираются выписать газету. Если они соберут с каждого по 15 к., то им не хватит 2 р., а если каждый внесёт по 25 к., то получится лишних 2 р. Сколько было учеников? Сколько стоит подписка на газету?

Для решения данной задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество учеников, а $y$ — стоимость подписки на газету в копейках.

Важно помнить, что 1 рубль равен 100 копейкам, следовательно, 2 рубля — это 200 копеек.

Из первого условия "если они соберут с каждого по 15 к., то им не хватит 2 р." следует, что общая собранная сумма ($15x$) на 200 копеек меньше стоимости подписки ($y$). Это можно записать как первое уравнение:

$15x = y - 200$

Из второго условия "если каждый внесёт по 25 к., то получится лишних 2 р." следует, что общая собранная сумма ($25x$) на 200 копеек больше стоимости подписки ($y$). Второе уравнение будет таким:

$25x = y + 200$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$\begin{cases}y = 15x + 200 \\y = 25x - 200\end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y=y$):$15x + 200 = 25x - 200$

Сколько было учеников?

Решим полученное уравнение, чтобы найти количество учеников $x$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:$200 + 200 = 25x - 15x$

$400 = 10x$

$x = \frac{400}{10}$

$x = 40$

Таким образом, было 40 учеников.
Ответ: 40 учеников.

Сколько стоит подписка на газету?

Теперь, зная количество учеников, найдем стоимость подписки $y$. Для этого подставим значение $x = 40$ в любое из первоначальных уравнений. Воспользуемся первым:

$y = 15x + 200$

$y = 15 \cdot 40 + 200$

$y = 600 + 200$

$y = 800$

Стоимость подписки составляет 800 копеек, что равно 8 рублям.
Ответ: 8 рублей (800 копеек).

1252. (Китай, I в.) Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесёт по 8 (денежных единиц), то избыток равен 3. Если каждый человек внесёт по 7, то недостаток равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $x$ — количество людей.
• Пусть $y$ — стоимость вещи в денежных единицах.

На основе условий задачи составим систему уравнений.

1. Если каждый человек внесёт по 8 денежных единиц, то общая собранная сумма составит $8x$. Эта сумма на 3 единицы больше стоимости вещи $y$. Следовательно, первое уравнение будет таким:

$y = 8x - 3$

2. Если каждый человек внесёт по 7 денежных единиц, то общая сумма составит $7x$. Этой суммы не хватает для покупки, и она на 4 единицы меньше стоимости вещи $y$. Следовательно, второе уравнение будет таким:

$y = 7x + 4$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} y = 8x - 3 \\ y = 7x + 4 \end{cases} $$

Поскольку левые части обоих уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части:

$8x - 3 = 7x + 4$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти количество людей $x$:

$8x - 7x = 4 + 3$

$x = 7$

Таким образом, количество людей равно 7.

Чтобы найти стоимость вещи $y$, подставим найденное значение $x=7$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся вторым уравнением:

$y = 7x + 4$

$y = 7 \cdot 7 + 4$

$y = 49 + 4$

$y = 53$

Таким образом, стоимость вещи составляет 53 денежные единицы.

Для проверки можно подставить значения в первое уравнение:

$53 = 8 \cdot 7 - 3$

$53 = 56 - 3$

$53 = 53$

Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: количество людей — 7, стоимость вещи — 53 денежные единицы.