Страница 238 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1179. В двух магазинах было 452 холодильника. После того как оба магазина продали холодильников поровну, в одном осталось 72, а в другом — 84 холодильника. Сколько холодильников было в каждом магазине первоначально?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов, чтобы определить первоначальное количество холодильников в каждом магазине.

1. Сначала найдем, сколько всего холодильников осталось в двух магазинах после продажи. Для этого сложим количество холодильников, оставшихся в каждом из них:

$72 + 84 = 156$ (холодильников) — осталось в двух магазинах.

2. Далее узнаем, сколько всего холодильников было продано обоими магазинами. Для этого из общего первоначального количества вычтем общее количество оставшихся холодильников:

$452 - 156 = 296$ (холодильников) — было продано всего.

3. Согласно условию, оба магазина продали одинаковое количество холодильников. Чтобы найти, сколько холодильников продал каждый магазин, разделим общее число проданных холодильников на 2:

$296 \div 2 = 148$ (холодильников) — продал каждый магазин.

4. Теперь можно найти, сколько холодильников было в каждом магазине первоначально. Для этого к количеству оставшихся холодильников в каждом магазине прибавим количество проданных (148):

В первом магазине (где осталось 72) было: $72 + 148 = 220$ (холодильников).

Во втором магазине (где осталось 84) было: $84 + 148 = 232$ (холодильника).

Для проверки можно сложить первоначальное количество холодильников в обоих магазинах: $220 + 232 = 452$, что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в одном магазине было 220 холодильников, а в другом — 232 холодильника.

1180. Первый цех железобетонных изделий расходует в день $25 \text{ т}$ цемента. Сколько цемента расходует в день второй цех завода, если привезённых $870 \text{ т}$ цемента хватит на $15 \text{ дней}$ их совместной работы?

Для того чтобы найти, сколько цемента расходует второй цех, сначала вычислим, сколько цемента оба цеха расходуют вместе за один день. Известно, что 870 тонн цемента хватает на 15 дней их совместной работы.

1. Найдём суточный расход цемента обоими цехами. Для этого разделим общее количество цемента на количество дней:
$870 \text{ т} \div 15 \text{ дней} = 58 \text{ т/день}$
Таким образом, оба цеха вместе расходуют 58 тонн цемента в день.

2. Теперь, зная общий расход и расход первого цеха (25 тонн в день), найдём расход второго цеха. Для этого из общего расхода вычтем расход первого цеха:
$58 \text{ т/день} - 25 \text{ т/день} = 33 \text{ т/день}$

Ответ: второй цех расходует в день 33 тонны цемента.

1181. Завод по плану должен изготовить 7920 приборов за 24 дня. За сколько дней завод выполнит это задание, если будет изготавливать в день на 30 приборов больше, чем намечено по плану?

Для решения задачи сначала найдем плановую производительность завода, то есть количество приборов, которое он должен был изготавливать за один день. Для этого общее количество приборов разделим на запланированное количество дней.

1) $7920 \div 24 = 330$ (приборов) – должен был изготавливать завод в день по плану.

Далее определим фактическую производительность завода. По условию, он стал изготавливать на 30 приборов в день больше, чем было запланировано.

2) $330 + 30 = 360$ (приборов) – стал изготавливать завод в день фактически.

Теперь, зная фактическую производительность, мы можем рассчитать, за сколько дней завод выполнит всю работу. Для этого разделим общее количество приборов на фактическую дневную производительность.

3) $7920 \div 360 = 22$ (дня).

Ответ: за 22 дня завод выполнит это задание.

1182. Токарь должен за 6 ч обточить 96 деталей. Применяя усовершенствованный резец, он может обтачивать в час на 8 деталей больше. Сколько времени сэкономит токарь на обточке 96 деталей, применяя усовершенствованный резец?

Для того чтобы узнать, сколько времени сэкономит токарь, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определим первоначальную производительность токаря.
По плану токарь должен обточить 96 деталей за 6 часов. Чтобы найти его производительность (количество деталей в час), разделим общее количество деталей на время работы:
$96 \text{ деталей} \div 6 \text{ часов} = 16 \text{ деталей/час}$
Таким образом, плановая производительность токаря составляет 16 деталей в час.

2. Определим новую производительность с усовершенствованным резцом.
С новым резцом производительность увеличивается на 8 деталей в час. Прибавим это значение к первоначальной производительности:
$16 \text{ деталей/час} + 8 \text{ деталей/час} = 24 \text{ детали/час}$
Новая производительность токаря — 24 детали в час.

3. Рассчитаем время, необходимое для обточки 96 деталей с новой производительностью.
Теперь разделим общее количество деталей на новую производительность, чтобы найти время, которое токарь потратит на работу:
$96 \text{ деталей} \div 24 \text{ детали/час} = 4 \text{ часа}$
С усовершенствованным резцом работа займет 4 часа.

4. Найдем сэкономленное время.
Чтобы найти, сколько времени сэкономил токарь, вычтем из планового времени (6 часов) новое время работы (4 часа):
$6 \text{ часов} - 4 \text{ часа} = 2 \text{ часа}$

Ответ: 2 часа.

1183. Нужно проверить 360 тетрадей диктанта. Первый учитель может проверить за 15 ч, второй — за 10 ч, третий — за 6 ч. За сколько времени проверят они тетради втроём?

Для решения задачи сначала определим производительность каждого учителя, то есть сколько тетрадей в час проверяет каждый из них.

1. Производительность первого учителя составляет:
$360 \text{ тетрадей} \div 15 \text{ ч} = 24 \text{ тетради/час}$

2. Производительность второго учителя составляет:
$360 \text{ тетрадей} \div 10 \text{ ч} = 36 \text{ тетрадей/час}$

3. Производительность третьего учителя составляет:
$360 \text{ тетрадей} \div 6 \text{ ч} = 60 \text{ тетрадей/час}$

Далее найдём их общую производительность при совместной работе, сложив производительности каждого учителя.

4. Общая производительность:
$24 + 36 + 60 = 120 \text{ тетрадей/час}$

Теперь, зная, что втроём учителя проверяют 120 тетрадей в час, мы можем найти, сколько времени им понадобится, чтобы проверить все 360 тетрадей.

5. Время совместной работы:
$360 \text{ тетрадей} \div 120 \text{ тетрадей/час} = 3 \text{ часа}$

Ответ: 3 часа.

1184. А, В и С сыграли три партии, причём проигравший обязан был удваивать суммы, принадлежащие остальным в начале партии. Проиграли последовательно А, В и С, и в результате у всех троих оказалось по 48 р. Сколько денег было у каждого из них вначале?

Для решения этой задачи будем рассуждать в обратном порядке, начиная с конца игры.

Общая сумма денег у всех троих игроков оставалась неизменной на протяжении всех партий, так как деньги лишь переходили от одного игрока к другому. В конце у каждого оказалось по 48 р., следовательно, общая сумма денег составляет $48 \times 3 = 144$ р.

Расчет перед третьей партией

В третьей партии проиграл игрок C. По правилам, он удвоил суммы игроков A и B. Значит, перед началом этой партии у A и B было вдвое меньше денег, чем в конце.

• Сумма у A перед 3-й партией: $48 \div 2 = 24$ р.
• Сумма у B перед 3-й партией: $48 \div 2 = 24$ р.

Сумма, которую C отдал игрокам A и B, составляет $24 + 24 = 48$ р. Следовательно, до своего проигрыша у C было на 48 р. больше, чем его конечная сумма.

• Сумма у C перед 3-й партией: $48 + 48 = 96$ р.

Итак, после второй партии у игроков было: A — 24 р., B — 24 р., C — 96 р. (Проверка: $24 + 24 + 96 = 144$ р.)

Расчет перед второй партией

Во второй партии проиграл игрок B. Он удвоил суммы игроков A и C. Найдем, сколько денег было у каждого до начала второй партии.

• Сумма у A перед 2-й партией: $24 \div 2 = 12$ р.
• Сумма у C перед 2-й партией: $96 \div 2 = 48$ р.

Сумма, которую B отдал игрокам A и C, составляет $12 + 48 = 60$ р. Значит, до своего проигрыша у B было на 60 р. больше, чем его сумма после проигрыша (24 р.).

• Сумма у B перед 2-й партией: $24 + 60 = 84$ р.

Итак, после первой партии у игроков было: A — 12 р., B — 84 р., C — 48 р. (Проверка: $12 + 84 + 48 = 144$ р.)

Расчет перед первой партией (изначальные суммы)

В первой партии проиграл игрок A. Он удвоил суммы игроков B и C. Найдем первоначальные суммы денег.

• Сумма у B вначале: $84 \div 2 = 42$ р.
• Сумма у C вначале: $48 \div 2 = 24$ р.

Сумма, которую A отдал игрокам B и C, составляет $42 + 24 = 66$ р. Значит, изначально у A было на 66 р. больше, чем его сумма после проигрыша (12 р.).

• Сумма у A вначале: $12 + 66 = 78$ р.

Таким образом, в самом начале у игроков были следующие суммы:

• У A было 78 рублей.
• У B было 42 рубля.
• У C было 24 рубля.

Ответ: Вначале у игрока A было 78 рублей, у игрока B — 42 рубля, а у игрока C — 24 рубля.

1185. A, B, C и D сыграли четыре партии, причём проигравший обязан был удваивать суммы, принадлежащие остальным в начале партии. Проиграли последовательно A, B, C и D, и в результате у всех четверых оказалось по 48 р. Сколько денег было у каждого из них вначале?

Для решения этой задачи используется метод обратного анализа, то есть мы будем двигаться от конца к началу, отменяя действия, совершенные в каждой партии.

Общая сумма денег у всех игроков не меняется, так как деньги просто переходят от одного игрока к другим. В конце у каждого по 48 р., значит, общая сумма составляет $4 \times 48 = 192$ р.

Состояние после 4-й партии (финал):

• A: 48 р.
• B: 48 р.
• C: 48 р.
• D: 48 р.

Перед 4-й партией (проиграл D):

В этой партии D проиграл и удвоил деньги остальных. Чтобы вернуть состояние до этой партии, нужно разделить деньги A, B и C пополам, а сумму, которую они получили, вернуть игроку D.

• A имел: $48 / 2 = 24$ р.
• B имел: $48 / 2 = 24$ р.
• C имел: $48 / 2 = 24$ р.
• D отдал им $24 + 24 + 24 = 72$ р. Значит, у D было: $48 + 72 = 120$ р.

Промежуточный итог: A - 24, B - 24, C - 24, D - 120.

Перед 3-й партией (проиграл C):

В этой партии C проиграл и удвоил деньги A, B и D. Проводим обратную операцию с текущими суммами.

• A имел: $24 / 2 = 12$ р.
• B имел: $24 / 2 = 12$ р.
• D имел: $120 / 2 = 60$ р.
• C отдал им $12 + 12 + 60 = 84$ р. Значит, у C было: $24 + 84 = 108$ р.

Промежуточный итог: A - 12, B - 12, C - 108, D - 60.

Перед 2-й партией (проиграл B):

В этой партии B проиграл и удвоил деньги A, C и D. Проводим обратную операцию.

• A имел: $12 / 2 = 6$ р.
• C имел: $108 / 2 = 54$ р.
• D имел: $60 / 2 = 30$ р.
• B отдал им $6 + 54 + 30 = 90$ р. Значит, у B было: $12 + 90 = 102$ р.

Промежуточный итог: A - 6, B - 102, C - 54, D - 30.

Перед 1-й партией (проиграл A) - начальные суммы:

В первой партии A проиграл и удвоил деньги B, C и D. Это последнее обратное действие, которое приведет нас к начальным суммам.

• B имел: $102 / 2 = 51$ р.
• C имел: $54 / 2 = 27$ р.
• D имел: $30 / 2 = 15$ р.
• A отдал им $51 + 27 + 15 = 93$ р. Значит, у A было: $6 + 93 = 99$ р.

Таким образом, мы нашли первоначальное количество денег у каждого игрока.

Ответ: Изначально у A было 99 р., у B — 51 р., у C — 27 р., и у D — 15 р.

1186. а) У крестьянина было несколько поросят и несколько ягнят. Три поросёнка и два ягнёнка весят 23 кг, а два поросёнка и три ягнёнка весят 22 кг. Сколько весят один поросёнок и один ягнёнок в отдельности?

б) В трёх маленьких и четырёх больших коробках 150 цветных карандашей, а в четырёх маленьких и трёх больших коробках 144 цветных карандаша. Сколько цветных карандашей в большой коробке?

а)

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $п$ — это вес одного поросёнка в кг, а $я$ — вес одного ягнёнка в кг.

Исходя из условий, получаем два уравнения:

1) Три поросёнка и два ягнёнка весят 23 кг: $3п + 2я = 23$

2) Два поросёнка и три ягнёнка весят 22 кг: $2п + 3я = 22$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 3п + 2я = 23 \\ 2п + 3я = 22 \end{cases}$

Можно решить эту систему несколькими способами. Например, сложим оба уравнения:

$(3п + 2я) + (2п + 3я) = 23 + 22$

$5п + 5я = 45$

Разделив обе части на 5, получим вес одного поросёнка и одного ягнёнка вместе:

$п + я = 9$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(3п + 2я) - (2п + 3я) = 23 - 22$

$п - я = 1$

Мы получили новую, более простую систему:

$\begin{cases} п + я = 9 \\ п - я = 1 \end{cases}$

Сложив эти два новых уравнения, найдём вес поросёнка:

$(п + я) + (п - я) = 9 + 1$

$2п = 10$

$п = 5$

Таким образом, один поросёнок весит 5 кг.

Теперь найдём вес ягнёнка, подставив значение $п$ в уравнение $п + я = 9$:

$5 + я = 9$

$я = 9 - 5 = 4$

Один ягнёнок весит 4 кг.

Ответ: один поросёнок весит 5 кг, а один ягнёнок весит 4 кг.

б)

Обозначим количество карандашей в маленькой коробке как $м$, а в большой коробке — как $б$.

Составим систему уравнений на основе условия задачи:

1) В трёх маленьких и четырёх больших коробках 150 карандашей: $3м + 4б = 150$.

2) В четырёх маленьких и трёх больших коробках 144 карандаша: $4м + 3б = 144$.

$\begin{cases} 3м + 4б = 150 \\ 4м + 3б = 144 \end{cases}$

Для того чтобы найти количество карандашей в большой коробке ($б$), нужно решить систему, исключив переменную $м$. Умножим первое уравнение на 4, а второе — на 3:

$4 \cdot (3м + 4б) = 4 \cdot 150 \implies 12м + 16б = 600$

$3 \cdot (4м + 3б) = 3 \cdot 144 \implies 12м + 9б = 432$

Теперь вычтем второе полученное уравнение из первого, чтобы избавиться от $м$:

$(12м + 16б) - (12м + 9б) = 600 - 432$

$16б - 9б = 168$

$7б = 168$

$б = 168 / 7$

$б = 24$

Ответ: в большой коробке 24 цветных карандаша.

1187. a) Скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$. На сколько километров в час скорость лодки по течению реки больше скорости против течения? Зависит ли ответ от собственной скорости лодки?

б) Скорость лодки по течению реки больше скорости лодки против течения на $6 \text{ км/ч}$. Какова скорость течения?

а)

Обозначим собственную скорость лодки (скорость в стоячей воде) как $V_{соб}$, а скорость течения реки как $V_{теч}$.

Скорость лодки по течению реки ($V_{по}$) складывается из ее собственной скорости и скорости течения:

$V_{по} = V_{соб} + V_{теч}$

Скорость лодки против течения реки ($V_{против}$) равна разности ее собственной скорости и скорости течения:

$V_{против} = V_{соб} - V_{теч}$

Чтобы найти, на сколько километров в час скорость по течению больше скорости против течения, нужно найти их разность:

$V_{по} - V_{против} = (V_{соб} + V_{теч}) - (V_{соб} - V_{теч})$

Раскроем скобки:

$V_{по} - V_{против} = V_{соб} + V_{теч} - V_{соб} + V_{теч} = 2 \cdot V_{теч}$

Таким образом, разность скоростей равна удвоенной скорости течения реки. По условию, $V_{теч} = 2$ км/ч.

Найдем разность скоростей: $2 \cdot 2 = 4$ км/ч.

Из полученной формулы $V_{по} - V_{против} = 2 \cdot V_{теч}$ видно, что собственная скорость лодки ($V_{соб}$) сокращается. Это означает, что разница между скоростью по течению и против течения не зависит от собственной скорости лодки, а зависит только от скорости течения.

Ответ: Скорость лодки по течению реки больше скорости против течения на 4 км/ч. Ответ не зависит от собственной скорости лодки.

б)

Используем выведенную в предыдущем пункте формулу, согласно которой разница между скоростью лодки по течению и против течения равна удвоенной скорости течения:

$V_{по} - V_{против} = 2 \cdot V_{теч}$

По условию задачи, эта разница составляет 6 км/ч. Подставим это значение в формулу:

$6 = 2 \cdot V_{теч}$

Теперь найдем скорость течения $V_{теч}$:

$V_{теч} = 6 / 2 = 3$ км/ч.

Ответ: Скорость течения равна 3 км/ч.