Страница 239 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1188. Расстояние, равное 3,6 км, проплыли по течению за 30 мин, а против течения за 40 мин. Определите скорость течения реки. За сколько часов это же расстояние проплывут плоты?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $s$ - расстояние, равное 3,6 км.
• $v_{с}$ - собственная скорость объекта (лодки).
• $v_{т}$ - скорость течения реки.
• $v_{по}$ - скорость по течению, $v_{по} = v_{с} + v_{т}$.
• $v_{пр}$ - скорость против течения, $v_{пр} = v_{с} - v_{т}$.
• $t_{по}$ - время движения по течению, равное 30 мин.
• $t_{пр}$ - время движения против течения, равное 40 мин.

Сначала переведем время из минут в часы для удобства вычислений:

$t_{по} = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0,5 \text{ ч}$

$t_{пр} = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$

1. Найдем скорость движения по течению:

$v_{по} = \frac{s}{t_{по}} = \frac{3,6 \text{ км}}{0,5 \text{ ч}} = 7,2 \text{ км/ч}$

2. Найдем скорость движения против течения:

$v_{пр} = \frac{s}{t_{пр}} = \frac{3,6 \text{ км}}{2/3 \text{ ч}} = 3,6 \cdot \frac{3}{2} \text{ км/ч} = 5,4 \text{ км/ч}$

3. У нас есть система из двух уравнений:

$v_{с} + v_{т} = 7,2$

$v_{с} - v_{т} = 5,4$

Чтобы найти скорость течения $v_{т}$, вычтем второе уравнение из первого:

$(v_{с} + v_{т}) - (v_{с} - v_{т}) = 7,2 - 5,4$

$2 \cdot v_{т} = 1,8$

$v_{т} = \frac{1,8}{2} = 0,9 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость течения реки равна 0,9 км/ч.

Плоты не имеют собственной скорости и движутся со скоростью течения реки. Следовательно, скорость плотов $v_{пл}$ равна скорости течения $v_{т}$.

$v_{пл} = v_{т} = 0,9 \text{ км/ч}$

Теперь найдем время, за которое плоты проплывут расстояние $s = 3,6$ км:

$t_{пл} = \frac{s}{v_{пл}} = \frac{3,6 \text{ км}}{0,9 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Ответ: плоты проплывут это расстояние за 4 часа.

1189. Пассажир метро, стоящий на ступеньке эскалатора, поднимается вверх за 3 мин. За сколько минут поднимется пассажир, если будет идти вверх со скоростью 25 м/мин и длина эскалатора 150 м?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость движения эскалатора.

Пассажир, стоя на ступеньке, поднимается только за счет движения эскалатора. Длина эскалатора ($S$) равна 150 м, а время подъема ($t_{эск}$) — 3 мин. Скорость эскалатора ($v_{эск}$) вычисляется по формуле:

$v = \frac{S}{t}$

$v_{эск} = \frac{150 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = 50 \text{ м/мин}$

2. Найдем общую скорость пассажира, идущего по эскалатору.

Когда пассажир идет в том же направлении, в котором движется эскалатор, их скорости складываются. Скорость пассажира ($v_{пасс}$) равна 25 м/мин. Общая скорость ($v_{общ}$) будет суммой скорости эскалатора и скорости пассажира:

$v_{общ} = v_{эск} + v_{пасс}$

$v_{общ} = 50 \text{ м/мин} + 25 \text{ м/мин} = 75 \text{ м/мин}$

3. Найдем время, за которое пассажир поднимется, идя по эскалатору.

Теперь, зная общую скорость и длину эскалатора, мы можем найти искомое время ($t$). Для этого разделим длину эскалатора на общую скорость:

$t = \frac{S}{v_{общ}}$

$t = \frac{150 \text{ м}}{75 \text{ м/мин}} = 2 \text{ мин}$

Ответ: 2 минуты.

1190. Стоя неподвижно на ступени эскалатора метро, человек поднимается вверх за 1 мин. Тот же человек, взбегая по ступеням неподвижного эскалатора, поднимается вверх за 40 с. За какое время тот же человек взбежит вверх по движущемуся эскалатору?

Пусть $L$ – длина эскалатора, $v_э$ – скорость эскалатора, а $v_ч$ – скорость человека относительно эскалатора.

Из условия задачи известно, что стоя на движущемся эскалаторе, человек поднимается за время $t_1 = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$. В этом случае скорость человека относительно земли равна скорости эскалатора $v_э$.

Следовательно, мы можем записать уравнение для длины эскалатора:

$L = v_э \cdot t_1$

Отсюда скорость эскалатора: $v_э = \frac{L}{t_1} = \frac{L}{60}$.

Также известно, что взбегая по неподвижному эскалатору, человек поднимается за время $t_2 = 40 \text{ с}$. В этом случае скорость человека относительно земли равна его собственной скорости $v_ч$.

Снова запишем уравнение для длины эскалатора:

$L = v_ч \cdot t_2$

Отсюда скорость человека: $v_ч = \frac{L}{t_2} = \frac{L}{40}$.

Теперь рассмотрим случай, когда человек взбегает по движущемуся эскалатору. Поскольку направления движения человека и эскалатора совпадают, их скорости складываются. Общая скорость человека относительно земли будет равна $v_{общ} = v_э + v_ч$.

Найдем искомое время $t$, за которое человек пройдет расстояние $L$ с этой общей скоростью:

$t = \frac{L}{v_{общ}} = \frac{L}{v_э + v_ч}$

Подставим в это уравнение ранее найденные выражения для $v_э$ и $v_ч$:

$t = \frac{L}{\frac{L}{60} + \frac{L}{40}}$

Мы можем сократить $L$ в числителе и знаменателе, так как длина эскалатора не равна нулю:

$t = \frac{1}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}}$

Чтобы сложить дроби в знаменателе, приведем их к общему знаменателю, который равен 120:

$\frac{1}{60} + \frac{1}{40} = \frac{2}{120} + \frac{3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для времени $t$:

$t = \frac{1}{\frac{1}{24}} = 24 \text{ с}$

Ответ: 24 с.

1191. Дачник пришёл от своей дачи на станцию как раз к отходу электрички. Если бы он на каждый километр тратил на 3 мин меньше, то пришёл бы на 12 мин раньше. Далеко ли от станции живёт дачник?

Пусть $S$ - искомое расстояние от дачи до станции в километрах (км), а $t$ - время в минутах, которое дачник тратит на прохождение одного километра.

Тогда общее время, которое дачник тратит на дорогу, составляет $S \cdot t$ минут.

Согласно условию, если бы дачник тратил на каждый километр на 3 минуты меньше, то есть $t - 3$ минут, он пришел бы на 12 минут раньше. Общее время в этом случае составило бы $S \cdot (t - 3)$ минут.

Разница во времени составляет 12 минут, поэтому мы можем составить уравнение:

$(S \cdot t) - (S \cdot (t - 3)) = 12$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$S \cdot t - S \cdot t + S \cdot 3 = 12$

Упростим выражение:

$3S = 12$

Теперь найдем расстояние $S$:

$S = \frac{12}{3}$

$S = 4$

Таким образом, расстояние от дачи до станции составляет 4 километра.

Можно рассуждать и проще:

Дачник экономит 3 минуты на каждом километре. Общая экономия времени составила 12 минут. Чтобы найти, сколько километров он прошел, нужно общую экономию времени разделить на экономию времени на одном километре:

$12 \text{ мин} \div 3 \text{ мин/км} = 4 \text{ км}$

Ответ: дачник живёт на расстоянии 4 км от станции.

1192. a) Колонна автобусов с детьми длиной $1 \text{ км}$ двигалась по шоссе со скоростью $50 \text{ км/ч}$. Автоинспектору, машина которого замыкала колонну, понадобилось подъехать к головному автобусу. Сколько минут уйдёт у инспектора на путь туда и обратно, если он будет ехать со скоростью $70 \text{ км/ч}$?

б) Колонна солдат длиной $250 \text{ м}$ движется со скоростью $4,5 \text{ км/ч}$. Из конца колонны в её начало отправляется сержант со скоростью $5,5 \text{ км/ч}$, затем с той же скоростью он возвращается в конец колонны. Сколько минут затратит сержант на путь туда и обратно?

а)

Для решения задачи используем понятие относительной скорости. Пусть $L$ - длина колонны ($1$ км), $v_к$ - скорость колонны ($50$ км/ч), $v_и$ - скорость инспектора ($70$ км/ч).

1. Путь к головному автобусу (туда). Инспектор догоняет колонну, двигаясь в том же направлении. Его скорость сближения с головой колонны равна разности их скоростей: $v_{сближения} = v_и - v_к = 70 \text{ км/ч} - 50 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$. Чтобы доехать от конца колонны до ее начала, инспектору нужно преодолеть расстояние, равное длине колонны, с этой относительной скоростью. Время, затраченное на путь туда: $t_1 = \frac{L}{v_{сближения}} = \frac{1 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = \frac{1}{20}$ часа.

2. Путь обратно к замыкающему автобусу (обратно). Инспектор едет навстречу замыкающему автобусу колонны. Их относительная скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей: $v_{встречная} = v_и + v_к = 70 \text{ км/ч} + 50 \text{ км/ч} = 120 \text{ км/ч}$. Время, затраченное на путь обратно: $t_2 = \frac{L}{v_{встречная}} = \frac{1 \text{ км}}{120 \text{ км/ч}} = \frac{1}{120}$ часа.

3. Общее время. Суммарное время на путь туда и обратно: $T = t_1 + t_2 = \frac{1}{20} + \frac{1}{120} = \frac{6}{120} + \frac{1}{120} = \frac{7}{120}$ часа.

Переведем общее время в минуты, умножив на 60: $T_{мин} = \frac{7}{120} \times 60 = \frac{7}{2} = 3,5$ минуты.

Ответ: 3,5 минуты.

б)

Эта задача аналогична предыдущей. Сначала приведем все единицы к единой системе. Длина колонны: $L = 250 \text{ м} = 0,25 \text{ км}$. Скорость колонны: $v_к = 4,5 \text{ км/ч}$. Скорость сержанта: $v_с = 5,5 \text{ км/ч}$.

1. Путь в начало колонны (туда). Сержант движется в том же направлении, что и колонна. Его относительная скорость: $v_{отн1} = v_с - v_к = 5,5 \text{ км/ч} - 4,5 \text{ км/ч} = 1 \text{ км/ч}$. Время на путь в начало колонны: $t_1 = \frac{L}{v_{отн1}} = \frac{0,25 \text{ км}}{1 \text{ км/ч}} = 0,25$ часа.

2. Путь в конец колонны (обратно). Сержант движется навстречу концу колонны. Их относительная скорость сближения: $v_{отн2} = v_с + v_к = 5,5 \text{ км/ч} + 4,5 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$. Время на путь обратно: $t_2 = \frac{L}{v_{отн2}} = \frac{0,25 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 0,025$ часа.

3. Общее время. Суммарное время, затраченное сержантом: $T = t_1 + t_2 = 0,25 + 0,025 = 0,275$ часа.

Переведем это время в минуты: $T_{мин} = 0,275 \times 60 = 16,5$ минут.

Ответ: 16,5 минут.

1193. а) Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу с двух станций, удалённых друг от друга на 520 км. Через какое время расстояние между поездами будет равно 65 км, если их скорости 60 км/ч и 70 км/ч?

б) Два поезда, расстояние между которыми 685 км, вышли одновременно навстречу друг другу. Через какое время расстояние между поездами будет равно 95 км, если их скорости 55 км/ч и 45 км/ч?

а)

Чтобы решить эту задачу, сначала найдем, с какой скоростью поезда сближаются друг с другом. Поскольку они движутся навстречу, их скорости складываются. Это называется скоростью сближения.

1. Найдем скорость сближения поездов:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 130 \text{ км/ч}$

2. Теперь определим, какое расстояние поезда должны проехать в сумме, чтобы расстояние между ними сократилось с 520 км до 65 км. Для этого вычтем из начального расстояния конечное:

$S_{пройд} = S_{нач} - S_{кон} = 520 \text{ км} - 65 \text{ км} = 455 \text{ км}$

3. Зная общее пройденное расстояние и скорость сближения, найдем время, которое им для этого понадобилось. Время равно расстоянию, деленному на скорость:

$t = \frac{S_{пройд}}{v_{сбл}} = \frac{455 \text{ км}}{130 \text{ км/ч}} = 3.5 \text{ ч}$

3,5 часа можно также записать как 3 часа 30 минут.

Ответ: через 3,5 часа.

б)

Решение этой задачи аналогично предыдущей.

1. Сначала найдем скорость сближения поездов, сложив их скорости:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 55 \text{ км/ч} + 45 \text{ км/ч} = 100 \text{ км/ч}$

2. Далее определим, какое расстояние поезда должны суммарно проехать, чтобы между ними осталось 95 км. Для этого из начального расстояния вычтем конечное:

$S_{пройд} = S_{нач} - S_{кон} = 685 \text{ км} - 95 \text{ км} = 590 \text{ км}$

3. Теперь найдем время, разделив пройденное поездами расстояние на их скорость сближения:

$t = \frac{S_{пройд}}{v_{сбл}} = \frac{590 \text{ км}}{100 \text{ км/ч}} = 5.9 \text{ ч}$

5,9 часа можно также записать как 5 часов 54 минуты ($0,9 \times 60 = 54$).

Ответ: через 5,9 часа.

1194. После четырёх стирок от куска мыла осталась только третья часть. На сколько стирок хватит оставшейся части?

1. Сначала определим, какая часть куска мыла была израсходована за 4 стирки. Если принять весь кусок за 1, то после того как осталась $\frac{1}{3}$ часть, израсходованная часть составит:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Таким образом, за 4 стирки было израсходовано $\frac{2}{3}$ куска мыла.

2. Теперь найдем, на сколько стирок хватит оставшейся $\frac{1}{3}$ части. Мы можем составить пропорцию или рассуждать логически.
Если на $\frac{2}{3}$ куска мыла хватило 4 стирок, то на часть, которая в два раза меньше ($\frac{1}{3}$ куска), хватит в два раза меньшего количества стирок.
Сравним части: $\frac{2}{3} \div \frac{1}{3} = 2$. Израсходованная часть в 2 раза больше оставшейся.
Следовательно, количество стирок для оставшейся части будет:
$4 \div 2 = 2$ (стирки).

Ответ: оставшейся части хватит на 2 стирки.

1195. Двум ученикам поручено подклеить в библиотеке несколько книг. Когда они закончили работу, то первый сказал, что подклеил $\frac{3}{5}$ всех книг, а второй сказал, что подклеил $\frac{2}{3}$ всех книг.

Их товарищ заметил, что ребята ошиблись в расчётах. Как он догадался?

Товарищ догадался об ошибке, потому что сумма частей работы, которую якобы выполнил каждый ученик, оказалась больше всей работы. Вся работа (все книги, которые нужно было подклеить) принимается за единицу.

Чтобы проверить утверждения учеников, нужно сложить доли книг, которые они подклеили.

Первый ученик подклеил $\frac{3}{5}$ всех книг.

Второй ученик подклеил $\frac{2}{3}$ всех книг.

Сложим эти дроби, приведя их к общему знаменателю 15:

$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{19}{15}$

Полученная сумма $\frac{19}{15}$ больше единицы, так как $19 > 15$.

$\frac{19}{15} = 1\frac{4}{15}$

Это означает, что, согласно их словам, они вместе подклеили больше книг, чем было всего. Такое невозможно, поэтому их товарищ и понял, что они ошиблись в расчетах.

Ответ: Сумма долей книг, которые подклеили ученики, больше единицы ($\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{19}{15} > 1$), что означает, что они вместе якобы сделали больше всей работы, а это невозможно.