Страница 240 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1196. В классе каждый ученик выполнил нормативы по бегу или по метанию мяча. Половина класса сдала норматив по бегу, $ \frac{2}{3} $ класса — по метанию мяча. Какая часть класса выполнила нормативы и по бегу, и по метанию мяча?

Примем весь класс за единицу (1). Согласно условию, каждый ученик выполнил норматив либо по бегу, либо по метанию мяча, либо оба норматива.

Доля учеников, выполнивших норматив по бегу, составляет $ \frac{1}{2} $.

Доля учеников, выполнивших норматив по метанию мяча, составляет $ \frac{2}{3} $.

Для нахождения доли учеников, выполнивших оба норматива, можно использовать формулу включений-исключений. Если сложить долю сдавших бег и долю сдавших метание, то ученики, сдавшие оба норматива, будут посчитаны дважды. Поскольку все ученики сдали хотя бы один норматив, общая сумма (весь класс) равна 1. Разница между суммой долей и единицей и будет искомой долей учеников, выполнивших оба норматива.

1. Сложим доли учеников, сдавших нормативы:

$ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6} $

3. Сумма долей получилась больше 1 ($ \frac{7}{6} > \frac{6}{6} $). "Излишек" как раз и составляет долю учеников, которых мы посчитали дважды, то есть тех, кто сдал оба норматива. Вычтем из полученной суммы 1 (весь класс):

$ \frac{7}{6} - 1 = \frac{7}{6} - \frac{6}{6} = \frac{1}{6} $

Таким образом, $ \frac{1}{6} $ часть класса выполнила нормативы и по бегу, и по метанию мяча.
Ответ: $ \frac{1}{6} $

1197. Часть студентов института изучает английский язык, часть — французский. Какая часть студентов изучает оба языка, если $\frac{3}{4}$ всех студентов изучает английский и $\frac{1}{3}$ — французский?

Для решения этой задачи примем общее количество всех студентов в институте за 1.

Пусть доля студентов, изучающих английский язык, составляет $A = \frac{3}{4}$.
Пусть доля студентов, изучающих французский язык, составляет $B = \frac{1}{3}$.

Нам необходимо найти долю студентов, которые изучают оба языка. Эта доля представляет собой пересечение двух групп студентов.

Если мы просто сложим доли студентов, изучающих английский ($A$) и французский ($B$), то те студенты, которые изучают оба языка, будут посчитаны дважды.

Найдем сумму этих долей: $S = A + B = \frac{3}{4} + \frac{1}{3}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$

Теперь выполним сложение: $S = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} = \frac{13}{12}$

Сумма долей $S = \frac{13}{12}$ оказалась больше 1 (что представляет всех студентов). Это означает, что существует пересечение, то есть есть студенты, которые были учтены дважды. Величина, на которую полученная сумма превышает 1, и является долей студентов, изучающих оба языка. Этот подход основан на предположении, что каждый студент изучает хотя бы один из этих двух языков.

Чтобы найти искомую долю, вычтем 1 из полученной суммы: $\frac{13}{12} - 1 = \frac{13}{12} - \frac{12}{12} = \frac{1}{12}$

Таким образом, $\frac{1}{12}$ часть всех студентов института изучает и английский, и французский языки.

Ответ: $\frac{1}{12}$

1198. Масса наибольшего количества соли, которое растворяется в воде, составляет $\frac{9}{25}$ массы воды. Сколько килограммов соли растворится в $\frac{5}{6}$ ведра воды, если ведро вмещает 12 кг воды?

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти массу воды, а затем вычислить массу соли, которая может в ней раствориться.

1. Найдем массу воды в $\frac{5}{6}$ ведра.
Известно, что одно полное ведро вмещает 12 кг воды. Чтобы найти массу воды в части ведра, нужно умножить объем этой части на массу воды в полном ведре:
$ \frac{5}{6} \times 12 = \frac{5 \times 12}{6} = \frac{60}{6} = 10 $ кг.

2. Найдем массу соли.
По условию, масса наибольшего количества соли, которое растворяется в воде, составляет $\frac{9}{25}$ массы воды. Теперь рассчитаем, сколько соли растворится в 10 кг воды:
$ 10 \times \frac{9}{25} = \frac{10 \times 9}{25} = \frac{90}{25} $ кг.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5, а затем преобразуем в десятичную дробь:
$ \frac{90}{25} = \frac{18}{5} = 3,6 $ кг.

Ответ: 3,6 кг.

1199. Из «Арифметики» Л. Н. Толстого. Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял $\frac{7}{10}$ всех денег, а жена 690 р. Сколько было всех денег?

Обозначим всю сумму денег, которая была в сундуке, за 1 (единицу).

1. Сначала найдем, какую часть от всех денег взяла жена. Муж взял $\frac{7}{10}$ всех денег. Так как после того, как они взяли деньги, в сундуке ничего не осталось, то жена взяла оставшуюся часть.
$1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$

2. Таким образом, жена взяла $\frac{3}{10}$ от всей суммы денег. Из условия задачи мы знаем, что эта часть составляет 690 рублей.

3. Теперь мы можем найти всю сумму денег. Если $\frac{3}{10}$ от всей суммы равны 690 р., то для нахождения всей суммы (целого) нужно разделить известную часть (690 р.) на соответствующую ей дробь ($\frac{3}{10}$).
$690 \div \frac{3}{10} = 690 \cdot \frac{10}{3} = \frac{690 \cdot 10}{3}$

Сократим 690 и 3 ( $690 \div 3 = 230$ ), а затем умножим на 10:
$230 \cdot 10 = 2300$ (рублей).

Следовательно, в сундуке изначально было 2300 рублей.

Проверим решение:
Муж взял: $2300 \cdot \frac{7}{10} = 230 \cdot 7 = 1610$ р.
Жена взяла: 690 р.
Всего денег: $1610 + 690 = 2300$ р.
Расчеты верны.

Ответ: 2300 рублей.

1200. Купивши комод за 36 р., я потом вынужден был продать его за $ \frac{7}{12} $ цены. Сколько рублей я потерял при этой продаже?

Для того чтобы найти, сколько рублей было потеряно при продаже комода, необходимо сначала вычислить цену, за которую его продали, а затем вычесть эту цену из первоначальной стоимости.

1. Найдём цену продажи. Известно, что комод купили за 36 рублей, а продали за $\frac{7}{12}$ этой цены. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на дробь.

Цена продажи = $36 \times \frac{7}{12}$

Вычислим это значение. Удобнее сначала разделить 36 на знаменатель 12, а затем умножить на числитель 7:

$36 \div 12 = 3$

$3 \times 7 = 21$

Таким образом, цена продажи комода составила 21 рубль.

2. Теперь найдём сумму потери, вычтя цену продажи из цены покупки:

Потеря = Цена покупки - Цена продажи

$36 - 21 = 15$ рублей.

Также задачу можно решить другим способом, определив, какая часть цены была потеряна. Если вся цена это 1 (или $\frac{12}{12}$), а продали за $\frac{7}{12}$, то потерянная часть составляет:

$1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$

Теперь найдём, сколько составляет $\frac{5}{12}$ от 36 рублей:

$36 \times \frac{5}{12} = (36 \div 12) \times 5 = 3 \times 5 = 15$ рублей.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 15 рублей.

1201. Мастер сплавил 3 куска серебра в $ \frac{1}{4} $ фунта, в $ \frac{1}{6} $ фунта и в $ \frac{1}{8} $ фунта, сделал из него ложки и продал их. Сколько получил он денег, если фунт серебра ценил в 24 р. да за работу взял 8 р.?

1. Найдем общую массу серебра.

Для этого необходимо сложить массу всех трех кусков серебра. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями (4, 6 и 8), нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для этих чисел является 24.

$ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{6}{24} + \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{6+4+3}{24} = \frac{13}{24} $ фунта.

Таким образом, общая масса сплавленного серебра составляет $ \frac{13}{24} $ фунта.

2. Рассчитаем стоимость всего серебра.

Известно, что один фунт серебра стоит 24 рубля. Чтобы найти стоимость всего серебра, умножим его общую массу на цену за фунт.

$ \frac{13}{24} \times 24 = 13 $ рублей.

Стоимость материала (серебра) составляет 13 рублей.

3. Определим, сколько всего денег получил мастер.

Общая сумма, которую получил мастер, складывается из стоимости проданных изделий (которая равна стоимости материала) и платы за работу.

$ 13 + 8 = 21 $ рубль.

Ответ: 21 рубль.

1202. Из первого крана за 2,5 мин наливается столько воды, сколько из второго за 3 мин. За сколько минут можно наполнить бак объёмом 66 л через эти два крана, если через второй кран в минуту наливается 15 л воды?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Найдем объем воды, который наливает второй кран за 3 минуты. Известно, что его производительность (скорость наливания) составляет 15 литров в минуту.

$V_2 = 15 \text{ л/мин} \times 3 \text{ мин} = 45 \text{ л}$

2. По условию, такой же объем воды (45 литров) наливается из первого крана за 2,5 минуты. Найдем производительность первого крана.

$P_1 = 45 \text{ л} / 2,5 \text{ мин} = 18 \text{ л/мин}$

3. Теперь найдем общую производительность двух кранов, если они будут работать одновременно. для этого сложим их производительности.

$P_{\text{общая}} = P_1 + P_2 = 18 \text{ л/мин} + 15 \text{ л/мин} = 33 \text{ л/мин}$

4. Зная общую производительность и объем бака (66 л), найдем время, за которое бак наполнится при одновременной работе двух кранов.

$t = V_{\text{бак}} / P_{\text{общая}} = 66 \text{ л} / 33 \text{ л/мин} = 2 \text{ мин}$

Ответ: бак можно наполнить за 2 минуты.

1203. Одна бригада за день выполняет $ \frac{1}{6} $ задания, другая $ \frac{1}{12} $ задания. За сколько дней при совместной работе бригады выполнят это задание?

Для решения этой задачи необходимо найти общую производительность двух бригад, то есть какую часть задания они выполняют вместе за один день, а затем определить, сколько дней потребуется для выполнения всего задания.

1. Найдём совместную производительность двух бригад. Для этого сложим части задания, которые каждая бригада выполняет за день:

$ \frac{1}{6} + \frac{1}{12} $

Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю, который равен 12. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$ \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2+1}{12} = \frac{3}{12} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $

Таким образом, работая вместе, две бригады выполняют $ \frac{1}{4} $ часть задания за один день.

2. Теперь найдём, за сколько дней бригады выполнят всё задание. Если за один день выполняется $ \frac{1}{4} $ задания, то для выполнения всего задания (которое принимается за 1) потребуется:

$ 1 \div \frac{1}{4} = 1 \cdot \frac{4}{1} = 4 $ (дня)

Ответ: 4 дня.

1204. Через одну трубу за минуту наполняется $\frac{1}{50}$ бассейна, через другую $\frac{1}{75}$ бассейна. За сколько минут бассейн наполнится через обе трубы?

Чтобы найти, за сколько минут бассейн наполнится через обе трубы, нужно сначала определить их общую производительность, то есть какую часть бассейна они наполняют вместе за одну минуту.

1. Производительность первой трубы составляет $\frac{1}{50}$ бассейна в минуту.

2. Производительность второй трубы составляет $\frac{1}{75}$ бассейна в минуту.

3. Сложим производительности обеих труб, чтобы найти их совместную производительность:
$\frac{1}{50} + \frac{1}{75}$

Для сложения этих дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 50 и 75 равен 150.
Приведем первую дробь к знаменателю 150 (дополнительный множитель 3):
$\frac{1}{50} = \frac{1 \cdot 3}{50 \cdot 3} = \frac{3}{150}$
Приведем вторую дробь к знаменателю 150 (дополнительный множитель 2):
$\frac{1}{75} = \frac{1 \cdot 2}{75 \cdot 2} = \frac{2}{150}$

Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{3}{150} + \frac{2}{150} = \frac{3 + 2}{150} = \frac{5}{150}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5}{150} = \frac{5 \div 5}{150 \div 5} = \frac{1}{30}$
Таким образом, за одну минуту обе трубы вместе наполняют $\frac{1}{30}$ часть бассейна.

4. Чтобы найти время, за которое наполнится весь бассейн (целая часть, или 1), нужно разделить 1 на совместную производительность:
Время = $1 \div \frac{1}{30} = 1 \cdot \frac{30}{1} = 30$ минут.

Ответ: 30 минут.