Номер 1196, страница 240 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1196, страница 240.

Условие.

1196. В классе каждый ученик выполнил нормативы по бегу или по метанию мяча. Половина класса сдала норматив по бегу, $ \frac{2}{3} $ класса — по метанию мяча. Какая часть класса выполнила нормативы и по бегу, и по метанию мяча?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Примем весь класс за единицу (1). Согласно условию, каждый ученик выполнил норматив либо по бегу, либо по метанию мяча, либо оба норматива.

Доля учеников, выполнивших норматив по бегу, составляет $ \frac{1}{2} $.

Доля учеников, выполнивших норматив по метанию мяча, составляет $ \frac{2}{3} $.

Для нахождения доли учеников, выполнивших оба норматива, можно использовать формулу включений-исключений. Если сложить долю сдавших бег и долю сдавших метание, то ученики, сдавшие оба норматива, будут посчитаны дважды. Поскольку все ученики сдали хотя бы один норматив, общая сумма (весь класс) равна 1. Разница между суммой долей и единицей и будет искомой долей учеников, выполнивших оба норматива.

1. Сложим доли учеников, сдавших нормативы:

$ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6} $

3. Сумма долей получилась больше 1 ($ \frac{7}{6} > \frac{6}{6} $). "Излишек" как раз и составляет долю учеников, которых мы посчитали дважды, то есть тех, кто сдал оба норматива. Вычтем из полученной суммы 1 (весь класс):

$ \frac{7}{6} - 1 = \frac{7}{6} - \frac{6}{6} = \frac{1}{6} $

Таким образом, $ \frac{1}{6} $ часть класса выполнила нормативы и по бегу, и по метанию мяча.
Ответ: $ \frac{1}{6} $