Номер 1197, страница 240 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1197, страница 240.

Условие.

1197. Часть студентов института изучает английский язык, часть — французский. Какая часть студентов изучает оба языка, если $\frac{3}{4}$ всех студентов изучает английский и $\frac{1}{3}$ — французский?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения этой задачи примем общее количество всех студентов в институте за 1.

Пусть доля студентов, изучающих английский язык, составляет $A = \frac{3}{4}$.
Пусть доля студентов, изучающих французский язык, составляет $B = \frac{1}{3}$.

Нам необходимо найти долю студентов, которые изучают оба языка. Эта доля представляет собой пересечение двух групп студентов.

Если мы просто сложим доли студентов, изучающих английский ($A$) и французский ($B$), то те студенты, которые изучают оба языка, будут посчитаны дважды.

Найдем сумму этих долей: $S = A + B = \frac{3}{4} + \frac{1}{3}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$

Теперь выполним сложение: $S = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} = \frac{13}{12}$

Сумма долей $S = \frac{13}{12}$ оказалась больше 1 (что представляет всех студентов). Это означает, что существует пересечение, то есть есть студенты, которые были учтены дважды. Величина, на которую полученная сумма превышает 1, и является долей студентов, изучающих оба языка. Этот подход основан на предположении, что каждый студент изучает хотя бы один из этих двух языков.

Чтобы найти искомую долю, вычтем 1 из полученной суммы: $\frac{13}{12} - 1 = \frac{13}{12} - \frac{12}{12} = \frac{1}{12}$

Таким образом, $\frac{1}{12}$ часть всех студентов института изучает и английский, и французский языки.

Ответ: $\frac{1}{12}$