Страница 246 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1253. (Китай, II в.) Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесёт по 9 (денежных единиц), то останется 11, если же каждый внесёт по 6, то не хватит 16. Найти число людей и стоимость курицы.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — искомое число людей, а $y$ — стоимость курицы в денежных единицах.

Составим уравнения на основе условий задачи:

1. Если каждый человек внесёт по 9 денежных единиц, то общая собранная сумма составит $9x$. По условию, эта сумма на 11 единиц больше стоимости курицы, что можно записать как:
$9x = y + 11$

2. Если каждый человек внесёт по 6 денежных единиц, то общая сумма составит $6x$. Этой суммы не хватит на 16 единиц для покупки курицы, что можно записать как:
$6x = y - 16$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} 9x = y + 11 \\ 6x = y - 16 \end{cases} $

Для решения системы выразим переменную $y$ из каждого уравнения:
Из первого уравнения: $y = 9x - 11$
Из второго уравнения: $y = 6x + 16$

Теперь приравняем правые части полученных выражений, чтобы найти $x$:
$9x - 11 = 6x + 16$

Решим это уравнение:
$9x - 6x = 16 + 11$
$3x = 27$
$x = \frac{27}{3}$
$x = 9$

число людей
Таким образом, мы нашли, что число людей в группе составляет 9.
Ответ: 9 человек.

стоимость курицы
Теперь, когда нам известно число людей, мы можем найти стоимость курицы, подставив значение $x = 9$ в любое из выражений для $y$. Воспользуемся первым:
$y = 9x - 11 = 9 \cdot 9 - 11 = 81 - 11 = 70$
Для проверки можно подставить $x$ и во второе выражение:
$y = 6x + 16 = 6 \cdot 9 + 16 = 54 + 16 = 70$
Результаты совпадают, следовательно, стоимость курицы составляет 70 денежных единиц.
Ответ: 70 денежных единиц.

1254. Задача Я. И. Перельмана. Двое очистили 400 штук картофеля; один очищал 3 штуки в минуту, другой — 2. Второй работал на 25 мин больше, чем первый. Сколько времени работал каждый?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $t$ – это время в минутах, которое работал первый человек. По условию, второй работал на 25 минут больше, следовательно, время его работы составляет $t + 25$ минут.

Первый человек очищал 3 картофелины в минуту, поэтому за время $t$ он очистил $3 \cdot t$ картофелин.

Второй человек очищал 2 картофелины в минуту, поэтому за время $t + 25$ он очистил $2 \cdot (t + 25)$ картофелин.

Вместе они очистили 400 картофелин. Можем составить уравнение, сложив количество картофеля, очищенного каждым:

$3t + 2(t + 25) = 400$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $t$:

1. Раскроем скобки:

$3t + 2t + 50 = 400$

2. Сложим слагаемые с переменной $t$:

$5t + 50 = 400$

3. Перенесем 50 в правую часть уравнения, изменив знак:

$5t = 400 - 50$

$5t = 350$

4. Найдем $t$, разделив обе части уравнения на 5:

$t = \frac{350}{5}$

$t = 70$

Таким образом, первый человек работал 70 минут.

Теперь найдем, сколько времени работал второй человек:

$t + 25 = 70 + 25 = 95$ минут.

Проверка:
Первый: $70 \text{ мин} \cdot 3 \text{ шт/мин} = 210$ штук.
Второй: $95 \text{ мин} \cdot 2 \text{ шт/мин} = 190$ штук.
Всего: $210 + 190 = 400$ штук. Решение верное.

Ответ: первый человек работал 70 минут, второй – 95 минут.

1255. Слон может бежать со скоростью, на 25 км/ч большей, чем медведь. Скорость медведя составляет $ \frac{2}{7} $ скорости слона. С какой скоростью может бежать каждое животное?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — скорость слона. Тогда, поскольку скорость слона на 25 км/ч больше скорости медведя, скорость медведя будет $(x - 25)$ км/ч.

Согласно второму условию, скорость медведя составляет $\frac{2}{7}$ скорости слона. На основе этого мы можем составить уравнение:

$x - 25 = \frac{2}{7}x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти скорость слона $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$x - \frac{2}{7}x = 25$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{7}{7}x - \frac{2}{7}x = 25$

$\frac{5}{7}x = 25$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{7}{5}$:

$x = 25 \cdot \frac{7}{5}$

$x = \frac{175}{5}$

$x = 35$

Таким образом, скорость слона составляет 35 км/ч.

Теперь найдем скорость медведя, которая на 25 км/ч меньше скорости слона:

$35 - 25 = 10$

Скорость медведя составляет 10 км/ч.

Проверим, выполняется ли второе условие: составляет ли скорость медведя $\frac{2}{7}$ от скорости слона?

$\frac{10}{35} = \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{2}{7}$

Условие выполняется. Все верно.

Ответ: скорость слона — 35 км/ч, скорость медведя — 10 км/ч.

1256. Первая бригада может выполнить задание за 56 ч, а вторая — за 112 ч. Мастер рассчитал, что работу можно организовать так, что сначала над выполнением задания будет работать первая бригада несколько дней (по 8 ч), а затем — вторая. При этом задание будет выполнено за 8 дней. Сколько дней должна работать каждая бригада?

Примем весь объем работы за 1.

1. Определим производительность (часть работы, выполняемую за 1 час) для каждой бригады.

Производительность первой бригады: $P_1 = \frac{1}{56}$ (часть работы в час).

Производительность второй бригады: $P_2 = \frac{1}{112}$ (часть работы в час).

2. Пусть первая бригада работала $x$ дней. Поскольку вся работа была выполнена за 8 дней, то вторая бригада работала $(8 - x)$ дней.

3. Рассчитаем, какую часть работы выполнила каждая бригада.

Первая бригада работала $x$ дней по 8 часов в день, то есть всего $8x$ часов. За это время она выполнила часть работы, равную:

$W_1 = P_1 \cdot 8x = \frac{1}{56} \cdot 8x = \frac{8x}{56} = \frac{x}{7}$

Вторая бригада работала $(8 - x)$ дней. Предполагая, что их рабочий день также составлял 8 часов, общее время их работы равно $8(8 - x)$ часов. За это время она выполнила часть работы, равную:

$W_2 = P_2 \cdot 8(8 - x) = \frac{1}{112} \cdot 8(8 - x) = \frac{8(8 - x)}{112} = \frac{8 - x}{14}$

4. Сумма частей работы, выполненных обеими бригадами, равна всему объему работы, то есть 1. Составим и решим уравнение:

$\frac{x}{7} + \frac{8 - x}{14} = 1$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 14:

$14 \cdot \frac{x}{7} + 14 \cdot \frac{8 - x}{14} = 14 \cdot 1$

$2x + (8 - x) = 14$

$2x + 8 - x = 14$

$x + 8 = 14$

$x = 14 - 8$

$x = 6$

Таким образом, первая бригада работала 6 дней.

5. Найдем, сколько дней работала вторая бригада:

$8 - x = 8 - 6 = 2$ (дня).

Проверка:

За 6 дней первая бригада выполнила $\frac{6}{7}$ всей работы.

За 2 дня вторая бригада выполнила $\frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ всей работы.

Вместе они выполнили: $\frac{6}{7} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} = 1$. Вся работа выполнена.

Ответ: первая бригада должна работать 6 дней, а вторая бригада — 2 дня.

1257. На пришкольном участке один класс окопал $ \frac{7}{20} $ всех деревьев, другой $ \frac{3}{5} $ остатка, а третий — остальные 52 дерева. Сколько деревьев на пришкольном участке?

Решим задачу поэтапно, двигаясь от конца к началу.

1. Третий класс окопал 52 дерева. Из условия известно, что второй класс окопал $\frac{3}{5}$ остатка деревьев (после первого класса), а третий — оставшуюся часть этого остатка. Следовательно, 52 дерева составляют часть остатка, равную: $1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

2. Теперь, зная, что 52 дерева — это $\frac{2}{5}$ от остатка после первого класса, мы можем найти общее количество деревьев в этом остатке. Для этого нужно число разделить на соответствующую ему дробь: $52 \div \frac{2}{5} = 52 \cdot \frac{5}{2} = \frac{52 \cdot 5}{2} = 26 \cdot 5 = 130$ деревьев. Таким образом, после того как первый класс окопал свою часть, на участке осталось 130 деревьев.

3. Первый класс окопал $\frac{7}{20}$ всех деревьев на участке. Значит, оставшиеся 130 деревьев составляют часть от общего количества, равную: $1 - \frac{7}{20} = \frac{20}{20} - \frac{7}{20} = \frac{13}{20}$

4. Зная, что 130 деревьев — это $\frac{13}{20}$ от общего количества деревьев, мы можем найти, сколько всего деревьев было на пришкольном участке. Для этого снова разделим число на соответствующую ему дробь: $130 \div \frac{13}{20} = 130 \cdot \frac{20}{13} = \frac{130 \cdot 20}{13} = 10 \cdot 20 = 200$ деревьев.

Ответ: 200 деревьев.

1258. Рабочий израсходовал $\frac{2}{35}$ зарплаты на оплату за квартиру, $\frac{5}{22}$ оставшихся денег на покупку вещей. После этого у него осталось на 320 р. больше, чем он израсходовал. Какова зарплата рабочего?

Пусть $x$ — это вся зарплата рабочего.

1. Сначала рабочий израсходовал $\frac{2}{35}$ зарплаты на уплату за квартиру. Эта сумма составляет $\frac{2}{35}x$.

2. После уплаты за квартиру у него осталась часть зарплаты, равная:
$x - \frac{2}{35}x = \frac{35}{35}x - \frac{2}{35}x = \frac{33}{35}x$.

3. Затем он потратил $\frac{5}{22}$ оставшихся денег на покупку вещей. Найдем, какую часть от всей зарплаты это составляет:
$\frac{5}{22} \cdot \frac{33}{35}x = \frac{5 \cdot 33}{22 \cdot 35}x = \frac{5 \cdot 3 \cdot 11}{2 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 7}x = \frac{3}{14}x$.

4. Теперь найдем общую израсходованную часть зарплаты, сложив траты на квартиру и вещи:
$\frac{2}{35}x + \frac{3}{14}x$.
Приведем дроби к общему знаменателю 70:
$\frac{2 \cdot 2}{35 \cdot 2}x + \frac{3 \cdot 5}{14 \cdot 5}x = \frac{4}{70}x + \frac{15}{70}x = \frac{19}{70}x$.

5. Определим, какая часть зарплаты осталась у рабочего после всех трат:
$x - \frac{19}{70}x = \frac{70}{70}x - \frac{19}{70}x = \frac{51}{70}x$.

6. По условию задачи, оставшаяся сумма ($\frac{51}{70}x$) на 320 р. больше, чем израсходованная ($\frac{19}{70}x$). Составим уравнение:
$\frac{51}{70}x - \frac{19}{70}x = 320$.

7. Решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$\frac{51 - 19}{70}x = 320$
$\frac{32}{70}x = 320$
$x = 320 : \frac{32}{70}$
$x = 320 \cdot \frac{70}{32}$
$x = 10 \cdot 70$
$x = 700$.

Следовательно, зарплата рабочего составляет 700 рублей.

Ответ: 700 р.

1259. В два магазина завезли яблок поровну. В первом магазине продали $ \frac{1}{3} $ всех яблок и ещё 30 кг, во втором магазине продали $ \frac{1}{4} $ всех яблок и ещё 40 кг. После чего оказалось, что яблок в магазинах продали поровну. Сколько яблок завезли в каждый магазин первоначально?

Пусть $x$ кг — количество яблок, которое завезли в каждый магазин первоначально.

Согласно условию, в первом магазине продали треть всех яблок и ещё 30 кг, что составляет $(\frac{1}{3}x + 30)$ кг.

Во втором магазине продали четверть всех яблок и ещё 40 кг, что составляет $(\frac{1}{4}x + 40)$ кг.

Поскольку в обоих магазинах продали одинаковое количество яблок, мы можем составить и решить следующее уравнение:

$\frac{1}{3}x + 30 = \frac{1}{4}x + 40$

Для решения уравнения перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 40 - 30$

Упростим правую часть:

$\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 10$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю 12:

$\frac{4}{12}x - \frac{3}{12}x = 10$

Выполним вычитание:

$\frac{1}{12}x = 10$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 12:

$x = 10 \cdot 12$

$x = 120$

Следовательно, в каждый магазин первоначально завезли по 120 кг яблок.

Проверим, сколько килограммов яблок продали в каждом магазине:

Первый магазин: $\frac{1}{3} \cdot 120 + 30 = 40 + 30 = 70$ кг.

Второй магазин: $\frac{1}{4} \cdot 120 + 40 = 30 + 40 = 70$ кг.

Количество проданных яблок совпадает, значит, задача решена верно.

Ответ: 120 кг.

1260. В нашем классе мальчиков и девочек поровну. На школьный вечер пришли половина всех мальчиков и ещё 3 мальчика, треть всех девочек и ещё 6 девочек. Оказалось, что на школьный вечер пришло мальчиков и девочек поровну. Сколько всего учащихся в нашем классе?

Пусть $x$ — это количество мальчиков в классе. Согласно условию, количество девочек в классе также равно $x$.

На школьный вечер пришло «половина всех мальчиков и ещё 3 мальчика». Математически это можно выразить как:
$ \frac{1}{2}x + 3 $

Также на вечер пришло «треть всех девочек и ещё 6 девочек». Математически это выражается как:
$ \frac{1}{3}x + 6 $

В задаче сказано, что на вечер пришло одинаковое количество мальчиков и девочек. Следовательно, мы можем приравнять два полученных выражения и составить уравнение:
$ \frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{3}x + 6 $

Теперь решим это уравнение. Перенесём все члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$ \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 6 - 3 $

Чтобы вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю, который равен 6:
$ \frac{3}{6}x - \frac{2}{6}x = 3 $
$ \frac{1}{6}x = 3 $

Теперь найдём значение $x$, умножив обе части уравнения на 6:
$ x = 3 \cdot 6 $
$ x = 18 $

Таким образом, в классе было 18 мальчиков и 18 девочек.

Чтобы найти общее количество учащихся в классе, нужно сложить количество мальчиков и девочек:
$ 18 + 18 = 36 $

Ответ: 36

1261. На вопрос: «Который час?» — был дан ответ: «$\frac{2}{5}$ прошедших часов от полуночи до сего времени равны $\frac{2}{3}$ часов, оставшихся до полудня». Спрашивается, сколько сейчас времени.

Для решения этой задачи давайте обозначим через $x$ количество часов, которое прошло с полуночи. Это и есть искомое время. Промежуток времени от полуночи до полудня составляет 12 часов. Следовательно, количество часов, оставшихся до полудня, можно выразить как $(12 - x)$.

Согласно условию, $\frac{2}{5}$ часов, прошедших от полуночи, равны $\frac{2}{3}$ часов, оставшихся до полудня. Мы можем записать это в виде уравнения:

$\frac{2}{5}x = \frac{2}{3}(12 - x)$

Теперь решим это уравнение. Для начала, мы можем упростить его, разделив обе части на 2:

$\frac{1}{5}x = \frac{1}{3}(12 - x)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, то есть на 15:

$15 \cdot \frac{1}{5}x = 15 \cdot \frac{1}{3}(12 - x)$

$3x = 5(12 - x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$3x = 60 - 5x$

Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:

$3x + 5x = 60$

$8x = 60$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7.5$

Итак, с полуночи прошло 7.5 часов. Это означает 7 полных часов и 0.5 часа. Переведем 0.5 часа в минуты:

$0.5 \text{ часа} = 0.5 \times 60 \text{ минут} = 30 \text{ минут}$

Следовательно, текущее время — 7 часов 30 минут.

Давайте выполним проверку:

Время, прошедшее с полуночи: 7.5 часов. $\frac{2}{5}$ от этого времени равно $\frac{2}{5} \times 7.5 = 3$ часа.

Время, оставшееся до полудня: $12 - 7.5 = 4.5$ часа. $\frac{2}{3}$ от этого времени равно $\frac{2}{3} \times 4.5 = 3$ часа.

Поскольку $3 = 3$, наше решение верно.

Ответ: 7 часов 30 минут.