Страница 243 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1226. а) Книга в переплёте стоит 5 р. Книга на 4 р. дороже переплёта. Сколько стоит переплёт?

б) Бутылка масла стоит 10 р. Масло на 9 р. дороже бутылки. Сколько стоит масло?

а)
Обозначим стоимость переплёта за $x$ рублей. Согласно условию, книга дороже переплёта на 4 рубля, значит, её стоимость составляет $x + 4$ рубля. Общая стоимость книги в переплёте равна 5 рублей. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 4) = 5$
$2x + 4 = 5$
$2x = 5 - 4$
$2x = 1$
$x = 1 / 2$
$x = 0.5$
Следовательно, стоимость переплёта составляет 0,5 рубля.
Ответ: 0,5 р.

б)
Обозначим стоимость пустой бутылки за $x$ рублей. Согласно условию, масло дороже бутылки на 9 рублей, значит, его стоимость составляет $x + 9$ рублей. Общая стоимость бутылки с маслом равна 10 рублей. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 9) = 10$
$2x + 9 = 10$
$2x = 10 - 9$
$2x = 1$
$x = 1 / 2$
$x = 0.5$
Таким образом, стоимость бутылки составляет 0,5 рубля. Чтобы найти стоимость масла, подставим найденное значение $x$ в выражение для стоимости масла:
$0.5 + 9 = 9.5$
Следовательно, стоимость масла составляет 9,5 рублей.
Ответ: 9,5 р.

1227. Три доярки обслуживают на ферме 125 коров. Сколько доярок потребуется для обслуживания 625 коров при той же норме?

Для решения этой задачи необходимо определить, как изменилось количество коров, и, исходя из этого, рассчитать требуемое количество доярок, так как норма обслуживания остается неизменной. Решение можно разбить на два действия.

1. Находим, во сколько раз увеличилось количество коров

Изначально было 125 коров, а необходимо обслужить 625. Чтобы найти, во сколько раз одно число больше другого, нужно большее число разделить на меньшее:

$625 \div 125 = 5$

Таким образом, количество коров увеличилось в 5 раз.

2. Находим необходимое количество доярок

Поскольку норма обслуживания для каждой доярки осталась прежней, а количество коров увеличилось в 5 раз, то и количество доярок должно увеличиться во столько же раз. Изначально было 3 доярки, умножим это число на 5:

$3 \cdot 5 = 15$

Следовательно, для обслуживания 625 коров потребуется 15 доярок.

Эту задачу также можно решить с помощью пропорции. Пусть $x$ — искомое количество доярок. Тогда:

3 доярки обслуживают 125 коров

$x$ доярок обслуживают 625 коров

Составим пропорцию:

$\frac{3}{125} = \frac{x}{625}$

Выразим $x$:

$x = \frac{3 \cdot 625}{125} = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 15 доярок.

1228. С конвейера автозавода каждые полторы минуты сходит один автомобиль. Сколько автомобилей выпускает завод за 1 ч?

Для того чтобы определить, сколько автомобилей выпускает завод за 1 час, необходимо сначала привести все единицы времени к общему значению. В данном случае удобнее всего будет перевести часы в минуты.

1. В одном часе содержится 60 минут.

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$

2. По условию задачи, один автомобиль сходит с конвейера каждые полторы минуты. Полторы минуты — это 1,5 минуты.

$1,5 \text{ мин} = 1 \text{ автомобиль}$

3. Теперь, чтобы найти общее количество автомобилей, выпущенных за 60 минут, нужно разделить общее время (60 минут) на время, затрачиваемое на производство одного автомобиля (1,5 минуты).

$\text{Количество автомобилей} = \frac{\text{Общее время}}{\text{Время на один автомобиль}} = \frac{60}{1,5}$

Выполним вычисление:

$\frac{60}{1,5} = \frac{600}{15} = 40$

Таким образом, за 1 час завод выпускает 40 автомобилей.

Ответ: 40 автомобилей.

1229. На некотором участке заменили старые рельсы длиной 8 м новыми рельсами длиной 12 м.

а) Сколько потребуется новых рельсов, если сняли 240 старых рельсов?

б) Сколько сняли старых рельсов, если установили 240 новых рельсов?

а) Сколько потребуется новых рельсов, если сняли 240 старых рельсов?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти общую длину заменяемого участка пути. Эта длина останется неизменной.

1. Вычислим общую длину участка, зная, что было снято 240 старых рельсов, каждый длиной 8 м. Для этого умножим количество рельсов на их длину:

$240 \times 8 = 1920$ м.

2. Теперь, зная общую длину участка (1920 м), мы можем рассчитать, сколько новых рельсов длиной 12 м потребуется для его покрытия. Для этого разделим общую длину на длину одного нового рельса:

$1920 \div 12 = 160$ рельсов.

Ответ: 160 новых рельсов.

б) Сколько сняли старых рельсов, если установили 240 новых рельсов?

1. Аналогично, сначала найдем общую длину участка, но на этот раз используя данные о новых рельсах. Умножим количество установленных новых рельсов на их длину:

$240 \times 12 = 2880$ м.

2. Зная, что общая длина участка составляет 2880 м, определим, сколько старых рельсов длиной 8 м было на этом участке. Для этого разделим общую длину на длину одного старого рельса:

$2880 \div 8 = 360$ рельсов.

Ответ: 360 старых рельсов.

1230. Колесо, окружность которого 1,5 м, сделало на некотором расстоянии 96 оборотов. Сколько оборотов на том же расстоянии сделает колесо, окружность которого 2,4 м?

Для начала найдем расстояние, которое проехало первое колесо. Расстояние равно произведению длины окружности колеса на количество сделанных оборотов.

1) $1,5 \times 96 = 144$ (м) – общее расстояние.

Теперь, зная расстояние, мы можем найти, сколько оборотов сделает на нем второе колесо. Для этого разделим общее расстояние на длину окружности второго колеса.

2) $144 / 2,4 = 1440 / 24 = 60$ (оборотов).

Также эту задачу можно решить с помощью пропорции. Длина окружности и количество оборотов на одном и том же расстоянии — это обратно пропорциональные величины. Чем больше окружность, тем меньше оборотов потребуется для преодоления того же пути. Составим пропорцию:

1,5 м — 96 оборотов
2,4 м — $x$ оборотов

$1,5 / 2,4 = x / 96$

$x = (1,5 \times 96) / 2,4$

$x = 144 / 2,4$

$x = 60$

Ответ: 60 оборотов.

1231. Для 16 голов скота на 36 дней требуется 1,92 т сухой подстилки. Сколько сухой подстилки требуется для 20 голов скота на 40 дней?

Количество требуемой подстилки прямо пропорционально как количеству голов скота, так и количеству дней. Это значит, что отношение массы подстилки к произведению количества голов на количество дней является постоянной величиной.

Пусть $x$ — искомое количество сухой подстилки в тоннах. Составим пропорцию, основываясь на данных из условия задачи:

$\frac{1,92 \text{ т}}{16 \text{ голов} \cdot 36 \text{ дней}} = \frac{x \text{ т}}{20 \text{ голов} \cdot 40 \text{ дней}}$

Сначала вычислим произведения в знаменателях:

$16 \cdot 36 = 576$

$20 \cdot 40 = 800$

Теперь пропорция выглядит так:

$\frac{1,92}{576} = \frac{x}{800}$

Выразим $x$ из этой пропорции:

$x = \frac{1,92 \cdot 800}{576}$

Выполним вычисления:

$x = \frac{1536}{576} = \frac{8}{3}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную и округлим до сотых, так как исходное значение было дано с двумя знаками после запятой:

$x = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \approx 2,67$ т.

Ответ: для 20 голов скота на 40 дней потребуется примерно 2,67 т сухой подстилки.

1232. Из А в В вышел пешеход со скоростью $4,8 \text{ км/ч}$. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$, который доехал до А, повернул назад и поехал с той же скоростью. Догонит ли велосипедист пешехода до его прихода в В?

Для решения этой задачи не обязательно знать расстояние между пунктами A и B. Обозначим это расстояние как $S$ км.

Скорость пешехода $v_п = 4,8$ км/ч.
Скорость велосипедиста $v_в = 10$ км/ч.

1. Сначала найдем время, которое велосипедист затратит на путь из B в A.
$t_1 = \frac{S}{v_в} = \frac{S}{10}$ (часов).

2. За это же время $t_1$ пешеход выйдет из A и пройдет некоторое расстояние в сторону B.
$S_п = v_п \cdot t_1 = 4,8 \cdot \frac{S}{10} = 0,48S$ (км).

3. В тот момент, когда велосипедист доехал до пункта A и развернулся, чтобы ехать обратно в B, пешеход уже находился на расстоянии $0,48S$ от A. Теперь они оба движутся в одном направлении. Велосипедист будет догонять пешехода.

4. Скорость, с которой велосипедист догоняет пешехода (скорость сближения), равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_в - v_п = 10 - 4,8 = 5,2$ км/ч.

5. Расстояние между ними в момент начала погони составляет $0,48S$. Найдем время, которое потребуется велосипедисту, чтобы преодолеть это расстояние и догнать пешехода.
$t_2 = \frac{0,48S}{v_{сбл}} = \frac{0,48S}{5,2} = \frac{48S}{520} = \frac{12S}{130} = \frac{6S}{65}$ (часов).

6. Теперь найдем, в какой точке произойдет встреча. Для этого вычислим, какое расстояние от пункта A пройдет пешеход за все время с момента старта до встречи. Общее время движения пешехода до встречи составит $T = t_1 + t_2$.
$T = \frac{S}{10} + \frac{6S}{65} = \frac{13S}{130} + \frac{12S}{130} = \frac{25S}{130} = \frac{5S}{26}$ (часов).
За это время пешеход пройдет расстояние:
$S_{встречи} = v_п \cdot T = 4,8 \cdot \frac{5S}{26} = \frac{48}{10} \cdot \frac{5S}{26} = \frac{24}{5} \cdot \frac{5S}{26} = \frac{24S}{26} = \frac{12}{13}S$.

7. Встреча произойдет на расстоянии $\frac{12}{13}S$ от пункта A. Так как общее расстояние от A до B равно $S$, а $\frac{12}{13} < 1$, то расстояние $\frac{12}{13}S$ меньше, чем $S$. Это означает, что встреча произойдет до того, как пешеход дойдет до пункта B.

Альтернативная проверка через время:
Время, нужное пешеходу на весь путь из A в B: $T_п = \frac{S}{v_п} = \frac{S}{4,8} = \frac{10S}{48} = \frac{5S}{24}$ часов.
Время, через которое произойдет встреча: $T = \frac{5S}{26}$ часов.
Сравним $T_п$ и $T$: $\frac{5S}{24}$ и $\frac{5S}{26}$. Поскольку знаменатель $24 < 26$, то дробь $\frac{5S}{24} > \frac{5S}{26}$.
Это значит, что время до встречи меньше, чем общее время пути пешехода. Следовательно, велосипедист догонит пешехода.

Ответ: Да, догонит.

1233. а) За 1 ч бригада маляров покрасила половину стены дома. Оставшуюся часть стены покрасил один человек за 4 ч. Сколько маляров в бригаде?

б) Бригада за полдня выполнила $\frac{3}{4}$ задания. Оставшуюся часть задания выполнил один человек за полдня. Сколько человек в бригаде?

в) Бригада плотников выполнила $\frac{3}{5}$ задания за полдня. Оставшуюся часть задания выполнил один плотник за день. Сколько плотников в бригаде?

г) Задача Л. Н. Толстого. Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом луге и к вечеру его докосила, а другая — перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?

а)

Пусть $N$ — количество маляров в бригаде, а $P$ — производительность одного маляра (часть стены, которую он красит за 1 час).
За 1 час бригада из $N$ маляров покрасила половину стены. Объем выполненной работы равен $N \cdot P \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Отсюда производительность всей бригады составляет $N \cdot P = \frac{1}{2}$ стены в час.
Оставшуюся половину стены ($\frac{1}{2}$) один человек покрасил за 4 часа. Его производительность $P$ можно найти из уравнения $1 \cdot P \cdot 4 = \frac{1}{2}$. Решая его, получаем $P = \frac{1}{2} \div 4 = \frac{1}{8}$ стены в час.
Теперь подставим производительность одного маляра в первое уравнение: $N \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$.
Отсюда находим количество маляров: $N = \frac{1}{2} \div \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.
Ответ: 4 маляра.

б)

Пусть $N$ — количество человек в бригаде, а $P$ — производительность одного человека (часть задания, выполняемая за полдня).
За полдня бригада выполнила $\frac{3}{4}$ задания. Объем работы: $N \cdot P \cdot 1 = \frac{3}{4}$.
Оставшуюся часть задания, $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$, выполнил один человек за те же полдня. Значит, производительность одного человека $P = \frac{1}{4}$ задания за полдня.
Подставим значение $P$ в первое уравнение: $N \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Отсюда $N = \frac{3}{4} \div \frac{1}{4} = 3$.
Ответ: 3 человека.

в)

Пусть $N$ — количество плотников в бригаде, а $P$ — производительность одного плотника (часть задания, выполняемая за день).
Бригада выполнила $\frac{3}{5}$ задания за полдня (0.5 дня). Объем работы: $N \cdot P \cdot 0.5 = \frac{3}{5}$. Отсюда производительность бригады за день равна $N \cdot P = \frac{3}{5} \div 0.5 = \frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5}$.
Оставшуюся часть задания, $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$, один плотник выполнил за день. Следовательно, производительность одного плотника $P = \frac{2}{5}$ задания в день.
Подставим значение $P$ в уравнение для производительности бригады: $N \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$.
Решаем уравнение: $N = \frac{6}{5} \div \frac{2}{5} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: 3 плотника.

г)

Это задача Л.Н. Толстого. Пусть $N$ — общее число косцов, $P$ — производительность одного косца за полдня (примем полдня за единицу времени).
Пусть $A_1$ — площадь большого луга, а $A_2$ — площадь малого луга. По условию $A_1 = 2 A_2$.
В первую половину дня (утром) все $N$ косцов косили большой луг и выполнили работу $W_1 = N \cdot P$.
Во вторую половину дня (после полудня) косцы разделились.
Половина косцов ($\frac{N}{2}$) осталась на большом луге и докосила его к вечеру. Объем выполненной ими работы $W_2 = \frac{N}{2} \cdot P$.
Таким образом, вся площадь большого луга равна сумме работ: $A_1 = W_1 + W_2 = NP + \frac{N}{2}P = \frac{3}{2}NP$.
Другая половина косцов ($\frac{N}{2}$) во вторую половину дня косила малый луг. Объем выполненной ими работы $W_3 = \frac{N}{2} \cdot P$.
На следующий день оставшуюся часть малого луга докосил один косец за целый день (т.е. за две половины дня). Объем выполненной им работы $W_4 = 1 \cdot P \cdot 2 = 2P$.
Площадь малого луга равна сумме работ на нем: $A_2 = W_3 + W_4 = \frac{N}{2}P + 2P = (\frac{N}{2} + 2)P$.
Теперь используем соотношение площадей $A_1 = 2 A_2$:
$\frac{3}{2}NP = 2 \cdot ((\frac{N}{2} + 2)P)$
Сократим обе части на $P$ (так как $P \neq 0$):
$\frac{3}{2}N = 2(\frac{N}{2} + 2)$
$\frac{3}{2}N = N + 4$
$\frac{3}{2}N - N = 4$
$\frac{1}{2}N = 4$
$N = 8$
Ответ: 8 косцов.