Номер 1232, страница 243 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1232, страница 243.

Условие.

1232. Из А в В вышел пешеход со скоростью $4,8 \text{ км/ч}$. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$, который доехал до А, повернул назад и поехал с той же скоростью. Догонит ли велосипедист пешехода до его прихода в В?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения этой задачи не обязательно знать расстояние между пунктами A и B. Обозначим это расстояние как $S$ км.

Скорость пешехода $v_п = 4,8$ км/ч.
Скорость велосипедиста $v_в = 10$ км/ч.

1. Сначала найдем время, которое велосипедист затратит на путь из B в A.
$t_1 = \frac{S}{v_в} = \frac{S}{10}$ (часов).

2. За это же время $t_1$ пешеход выйдет из A и пройдет некоторое расстояние в сторону B.
$S_п = v_п \cdot t_1 = 4,8 \cdot \frac{S}{10} = 0,48S$ (км).

3. В тот момент, когда велосипедист доехал до пункта A и развернулся, чтобы ехать обратно в B, пешеход уже находился на расстоянии $0,48S$ от A. Теперь они оба движутся в одном направлении. Велосипедист будет догонять пешехода.

4. Скорость, с которой велосипедист догоняет пешехода (скорость сближения), равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_в - v_п = 10 - 4,8 = 5,2$ км/ч.

5. Расстояние между ними в момент начала погони составляет $0,48S$. Найдем время, которое потребуется велосипедисту, чтобы преодолеть это расстояние и догнать пешехода.
$t_2 = \frac{0,48S}{v_{сбл}} = \frac{0,48S}{5,2} = \frac{48S}{520} = \frac{12S}{130} = \frac{6S}{65}$ (часов).

6. Теперь найдем, в какой точке произойдет встреча. Для этого вычислим, какое расстояние от пункта A пройдет пешеход за все время с момента старта до встречи. Общее время движения пешехода до встречи составит $T = t_1 + t_2$.
$T = \frac{S}{10} + \frac{6S}{65} = \frac{13S}{130} + \frac{12S}{130} = \frac{25S}{130} = \frac{5S}{26}$ (часов).
За это время пешеход пройдет расстояние:
$S_{встречи} = v_п \cdot T = 4,8 \cdot \frac{5S}{26} = \frac{48}{10} \cdot \frac{5S}{26} = \frac{24}{5} \cdot \frac{5S}{26} = \frac{24S}{26} = \frac{12}{13}S$.

7. Встреча произойдет на расстоянии $\frac{12}{13}S$ от пункта A. Так как общее расстояние от A до B равно $S$, а $\frac{12}{13} < 1$, то расстояние $\frac{12}{13}S$ меньше, чем $S$. Это означает, что встреча произойдет до того, как пешеход дойдет до пункта B.

Альтернативная проверка через время:
Время, нужное пешеходу на весь путь из A в B: $T_п = \frac{S}{v_п} = \frac{S}{4,8} = \frac{10S}{48} = \frac{5S}{24}$ часов.
Время, через которое произойдет встреча: $T = \frac{5S}{26}$ часов.
Сравним $T_п$ и $T$: $\frac{5S}{24}$ и $\frac{5S}{26}$. Поскольку знаменатель $24 < 26$, то дробь $\frac{5S}{24} > \frac{5S}{26}$.
Это значит, что время до встречи меньше, чем общее время пути пешехода. Следовательно, велосипедист догонит пешехода.

Ответ: Да, догонит.