Страница 249 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1281. а) Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Её длина равна 28 см, ширина составляет 0,5 длины, а высота составляет $ \frac{1}{7} $ ширины. Найдите объём коробки.

б) Длина строительного кирпича 25 см, ширина составляет 0,48 длины, а высота составляет 0,26 длины. Выразите объём кирпича в кубических дециметрах.

а)

Чтобы найти объём коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, нужно перемножить её длину, ширину и высоту. Формула для объёма: $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

1. Найдём ширину коробки. По условию, она составляет 0,5 от длины, которая равна 28 см.

$b = 0,5 \cdot 28 = 14$ см.

2. Найдём высоту коробки. Она составляет $\frac{1}{7}$ от ширины.

$c = \frac{1}{7} \cdot 14 = \frac{14}{7} = 2$ см.

3. Теперь, зная все три измерения, вычислим объём коробки.

$V = 28 \cdot 14 \cdot 2 = 784$ см³.

Ответ: 784 см³.

б)

Сначала найдём все размеры кирпича в сантиметрах, затем вычислим его объём и переведём результат в кубические дециметры.

1. Длина кирпича, согласно условию, равна 25 см.

2. Найдём ширину кирпича, которая составляет 0,48 от длины.

$b = 0,48 \cdot 25 = 12$ см.

3. Найдём высоту кирпича, которая составляет 0,26 от длины.

$c = 0,26 \cdot 25 = 6,5$ см.

4. Вычислим объём кирпича в кубических сантиметрах.

$V = 25 \cdot 12 \cdot 6,5 = 300 \cdot 6,5 = 1950$ см³.

5. Выразим полученный объём в кубических дециметрах. В одном дециметре 10 сантиметров, поэтому в одном кубическом дециметре $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ кубических сантиметров (1 дм³ = 1000 см³).

$V = 1950 \text{ см}^3 = \frac{1950}{1000} \text{ дм}^3 = 1,95$ дм³.

Ответ: 1,95 дм³.

1282. В килограммовой пачке сахара содержится 180 кусков сахара.

Какова масса каждого куска?

Чтобы найти массу одного куска сахара, нужно общую массу сахара в пачке разделить на количество кусков.

1. Сначала переведем массу пачки из килограммов в граммы, так как масса одного куска будет небольшой. В одном килограмме 1000 граммов.

$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

2. Теперь разделим общую массу в граммах на количество кусков сахара.

$1000 \text{ г} \div 180 = \frac{1000}{180} \text{ г}$

3. Сократим полученную дробь. Сначала можно сократить на 10, а затем на 2.

$\frac{1000}{180} = \frac{100}{18} = \frac{50}{9} \text{ г}$

4. Представим неправильную дробь в виде смешанного числа, чтобы ответ был более наглядным.

$\frac{50}{9} = 5 \frac{5}{9} \text{ г}$

Таким образом, масса каждого куска сахара составляет $5 \frac{5}{9}$ грамма.

Ответ: $5 \frac{5}{9}$ г.

1283. Выразите объём пачки сахара, размеры которой $5,5 \text{ см}$, $11,5 \text{ см}$ и $17,5 \text{ см}$, в кубических дециметрах. Ответ округлите до сотых.

Для нахождения объема пачки сахара, которая имеет форму прямоугольного параллелепипеда, используется формула $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$, $b$ и $c$ – его измерения (длина, ширина и высота).

По условию задачи, размеры пачки даны в сантиметрах, а объем требуется выразить в кубических дециметрах. Для удобства вычислений сначала переведем все размеры из сантиметров в дециметры. Учитывая, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, получаем:

$a = 5,5 \text{ см} = \frac{5,5}{10} \text{ дм} = 0,55 \text{ дм}$

$b = 11,5 \text{ см} = \frac{11,5}{10} \text{ дм} = 1,15 \text{ дм}$

$c = 17,5 \text{ см} = \frac{17,5}{10} \text{ дм} = 1,75 \text{ дм}$

Теперь вычислим объем в кубических дециметрах, подставив полученные значения в формулу:

$V = 0,55 \text{ дм} \cdot 1,15 \text{ дм} \cdot 1,75 \text{ дм} = 1,106875 \text{ дм}^3$

В задании требуется округлить ответ до сотых. Для этого смотрим на третью цифру после запятой (разряд тысячных). В нашем случае это цифра 6. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде сотых необходимо увеличить на единицу.

$1,106875 \approx 1,11$

Ответ: $1,11 \text{ дм}^3$

1284. a) Можно ли написать 45 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100?

б) Можно ли написать 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100?

а)

Рассмотрим все двузначные числа от 10 до 99. Общее количество таких чисел равно $99 - 10 + 1 = 90$.

Задача состоит в том, чтобы выбрать 45 различных двузначных чисел так, чтобы сумма любых двух из них не равнялась 100.

Для решения задачи разобьем все двузначные числа на группы. В каждую группу поместим числа, которые в сумме дают 100.

1. Пары чисел вида $(x, 100-x)$, где $x$ и $100-x$ являются двузначными числами. Такие пары образуются для $x$ от 10 до 49:

• {10, 90}
• {11, 89}
• ...
• {49, 51}

Количество таких пар равно $49 - 10 + 1 = 40$. Эти пары включают $40 \times 2 = 80$ различных чисел.

2. Числа, которые не вошли в эти пары.

• Число 50. Для него пара — это само число 50 ($50+50=100$). Поскольку в наборе все числа должны быть различными, то если мы выберем 50, мы не сможем выбрать второе число, дающее в сумме с ним 100.
• Числа от 91 до 99. Для каждого из этих чисел (например, 91) второе число в паре, дающее в сумме 100, является однозначным (для 91 это 9). Таких чисел 9.

Таким образом, у нас есть 10 чисел {50, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99}, которые не имеют "парного" двузначного числа для образования суммы 100. Сумма любых двух чисел из этой группы больше 100 (минимальная сумма $50+91=141$).

Чтобы в выбранном наборе не было двух чисел, дающих в сумме 100, мы не можем брать оба числа из одной пары. Это значит, что из каждой из 40 пар мы можем взять не более одного числа. Из группы "одиночных" 10 чисел мы можем взять все.

Максимально возможное количество чисел в таком наборе: $40$ (по одному из каждой пары) $+ 10$ (все "одиночные" числа) $= 50$ чисел.

Поскольку нам нужно написать 45 чисел, а $45 \le 50$, это возможно.

Приведем пример такого набора из 45 чисел.

1. Возьмем все 10 "одиночных" чисел: 50, 91, 92, ..., 99.
2. Возьмем еще $45 - 10 = 35$ чисел. Для этого выберем по одному числу из 35 различных пар. Например, возьмем меньшие числа из первых 35 пар: 10, 11, ..., 44.

Полученный набор {10, 11, ..., 44, 50, 91, 92, ..., 99} содержит 45 чисел. Проверим, что никакие два из них не дают в сумме 100.

• Сумма двух чисел из {10, ..., 44} не превышает $43+44 = 87$.
• Сумма двух чисел из {50, 91, ..., 99} не меньше $50+91 = 141$.
• Сумма числа из {10, ..., 44} и числа из {50, 91, ..., 99} либо меньше 100 ($44+50=94$), либо больше 100 ($10+91=101$).

Таким образом, можно написать 45 таких чисел.

Ответ: Да, можно.

б)

Как было показано в решении пункта а), все 90 двузначных чисел можно разбить на 50 непересекающихся групп:

• 40 пар вида {x, 100-x}, где $x \in \{10, ..., 49\}$.
• 10 групп, состоящих из одного числа: {50}, {91}, {92}, ..., {99}.

Условие, что среди выбранных чисел нет двух, дающих в сумме 100, эквивалентно тому, что из каждой такой группы можно выбрать не более одного числа. Если мы выберем два числа из одной группы-пары {x, 100-x}, их сумма будет равна 100, что запрещено.

Таким образом, у нас есть 50 групп, и из каждой мы можем выбрать не более одного числа. Следовательно, максимальное количество чисел, которое можно выбрать с соблюдением условия, равно 50.

В задаче предлагается написать 55 чисел. Поскольку $55 > 50$, это невозможно.

Это можно доказать, используя принцип Дирихле. У нас есть 50 "ящиков" (наши 50 групп) и 55 "голубей" (числа, которые мы выбираем). Согласно принципу Дирихле, если "голубей" больше, чем "ящиков", то найдется хотя бы один "ящик", в котором сидит не менее двух "голубей".

Группы из одного числа не могут содержать два "голубя". Значит, два "голубя" (два выбранных числа) окажутся в одной из 40 групп-пар. Но это означает, что мы выберем оба числа из некоторой пары {x, 100-x}, а их сумма равна 100. Это противоречит условию.

Следовательно, написать 55 таких чисел нельзя.

Ответ: Нет, нельзя.

1285. а) В коробке лежат 5 красных и 5 зелёных карандашей. Какое наименьшее число карандашей нужно взять из коробки не глядя, чтобы среди них оказалось 2 карандаша одного цвета? 2 карандаша разных цветов?

б) В коробке лежат 5 красных, 5 зелёных и 5 синих карандашей. Какое наименьшее число карандашей нужно взять из коробки не глядя, чтобы среди них оказалось 2 карандаша одного цвета? 2 карандаша разных цветов?

а)

2 карандаша одного цвета?
Для решения этой задачи применяется принцип Дирихле. В коробке находятся карандаши двух цветов (красный и зелёный). Рассмотрим наихудший сценарий: мы будем вытаскивать карандаши разных цветов, пока это возможно.
1-й карандаш — красный.
2-й карандаш — зелёный.
Мы вытащили 2 карандаша, и они разных цветов. Третий вытащенный карандаш неизбежно будет либо красным, либо зелёным, и, следовательно, образует пару с одним из уже вытащенных. Таким образом, минимальное количество карандашей, которое нужно вытащить, равно $2 + 1 = 3$.
Ответ: 3 карандаша.

2 карандаша разных цветов?
Рассмотрим наихудший случай: нам постоянно попадаются карандаши одного и того же цвета. Максимальное количество карандашей одного цвета, которое мы можем вытащить подряд, — это 5 (например, все красные). После того как мы вытащили 5 карандашей, и все они оказались одного цвета, следующий (шестой) карандаш гарантированно будет другого цвета (зелёным), так как красных в коробке больше не осталось. Таким образом, нужно вытащить $5 + 1 = 6$ карандашей.
Ответ: 6 карандашей.

б)

2 карандаша одного цвета?
В этом случае в коробке находятся карандаши трёх цветов (красный, зелёный и синий). Рассуждаем по аналогии с пунктом а), рассматривая наихудший случай.
1-й карандаш — красный.
2-й карандаш — зелёный.
3-й карандаш — синий.
Мы вытащили 3 карандаша, и все они разных цветов. Четвёртый вытащенный карандаш обязательно совпадёт по цвету с одним из уже имеющихся. Следовательно, чтобы гарантированно получить пару одного цвета, нужно вытащить $3 + 1 = 4$ карандаша.
Ответ: 4 карандаша.

2 карандаша разных цветов?
Снова рассмотрим наихудший случай: мы вытаскиваем карандаши только одного цвета. В каждой цветовой группе по 5 карандашей. Мы можем вытащить все 5 карандашей одного цвета (например, все синие). После этого в коробке останутся только красные и зелёные карандаши. Следующий, шестой, карандаш гарантированно будет другого цвета. Таким образом, чтобы точно получить два карандаша разных цветов, нужно вытащить $5 + 1 = 6$ карандашей.
Ответ: 6 карандашей.

1286. Студент за 5 лет учёбы сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов было на четвёртом курсе?

Обозначим количество экзаменов, которые студент сдавал каждый год, как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ для первого, второго, третьего, четвертого и пятого курсов соответственно.

Из условий задачи мы можем составить систему уравнений и неравенств:

1. Общее количество экзаменов: $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 31$.
2. Количество экзаменов каждый год увеличивалось (поскольку это целые числа): $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$.
3. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом: $a_5 = 3a_1$.

Подставим третье условие в первое:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + 3a_1 = 31$

$4a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 31$

Теперь используем неравенство $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$. Так как количество экзаменов — целое число, мы можем записать минимально возможные значения для $a_2, a_3, a_4, a_5$ через $a_1$:

• $a_2 \geq a_1 + 1$
• $a_3 \geq a_2 + 1 \geq a_1 + 2$
• $a_4 \geq a_3 + 1 \geq a_1 + 3$
• $a_5 \geq a_4 + 1 \geq a_1 + 4$

Из последнего неравенства и условия $a_5 = 3a_1$ получаем:

$3a_1 \geq a_1 + 4$

$2a_1 \geq 4$

$a_1 \geq 2$

Теперь найдем верхнюю границу для $a_1$. Подставим минимально возможные значения $a_2, a_3, a_4$ в уравнение суммы:

$4a_1 + (a_1+1) + (a_1+2) + (a_1+3) \leq 31$

$7a_1 + 6 \leq 31$

$7a_1 \leq 25$

$a_1 \leq \frac{25}{7} \approx 3.57$

Таким образом, $a_1$ — это целое число, для которого выполняется условие $2 \leq a_1 \leq 3$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $a_1 = 2$

Если $a_1 = 2$, то $a_5 = 3 \times 2 = 6$.

Сумма экзаменов за 2, 3 и 4 курсы будет:

$a_2 + a_3 + a_4 = 31 - a_1 - a_5 = 31 - 2 - 6 = 23$.

При этом должно выполняться неравенство $2 < a_2 < a_3 < a_4 < 6$. Единственные целые числа в этом промежутке — это 3, 4 и 5. Их сумма $3+4+5=12$, что не равно 23. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $a_1 = 3$

Если $a_1 = 3$, то $a_5 = 3 \times 3 = 9$.

Сумма экзаменов за 2, 3 и 4 курсы будет:

$a_2 + a_3 + a_4 = 31 - a_1 - a_5 = 31 - 3 - 9 = 19$.

При этом должно выполняться неравенство $3 < a_2 < a_3 < a_4 < 9$. Нам нужно найти три разных целых числа из диапазона {4, 5, 6, 7, 8}, сумма которых равна 19.

Путем подбора находим два возможных варианта:

• $a_2=4, a_3=7, a_4=8$. Сумма: $4+7+8=19$. Последовательность: 3, 4, 7, 8, 9.
• $a_2=5, a_3=6, a_4=8$. Сумма: $5+6+8=19$. Последовательность: 3, 5, 6, 8, 9.

В обоих допустимых вариантах количество экзаменов на четвёртом курсе ($a_4$) одинаково и равно 8.

Ответ: на четвёртом курсе было 8 экзаменов.

1287. Предание повествует, что царь Гиерон поручил мастеру изготовить корону и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда корона была доставлена, взвешивание показало, что она весит столько же, сколько весили золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и серебра заключает изготовленная корона. Архимед решил задачу, исходя из того, что чистое золото при взвешивании в воде теряет двадцатую долю своего веса, а серебро — десятую долю. Определите, сколько золота утаил мастер, если ему выдали 8 кг золота и 2 кг серебра, а корона весила в воде $9\frac{1}{4}$ кг.

Для решения задачи составим уравнение, основанное на потере веса короны при погружении в воду.

1. Определение общего веса короны и ее потери веса в воде

Мастеру было выдано $8$ кг золота и $2$ кг серебра. Общий вес материалов, а следовательно, и вес короны в воздухе, составляет:

$P_{возд} = 8 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 10 \text{ кг}$

По условию, вес короны в воде составляет $9 \frac{1}{4}$ кг. Потеря веса короны в воде равна разности ее веса в воздухе и веса в воде:

$\Delta P = P_{возд} - P_{воды} = 10 - 9 \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \text{ кг}$

2. Составление уравнения

Пусть мастер утаил $x$ кг золота. Чтобы общий вес короны остался прежним, он должен был заменить украденное золото таким же количеством серебра. Таким образом, в короне оказалось:

• Масса золота: $(8 - x)$ кг
• Масса серебра: $(2 + x)$ кг

Потеря веса каждого металла в воде пропорциональна его массе:

• Потеря веса золота в воде: $\frac{1}{20}$ от его массы, то есть $\frac{1}{20}(8 - x)$ кг.
• Потеря веса серебра в воде: $\frac{1}{10}$ от его массы, то есть $\frac{1}{10}(2 + x)$ кг.

Общая потеря веса короны в воде — это сумма потерь веса ее составляющих. Мы уже вычислили, что она равна $\frac{3}{4}$ кг. Составим уравнение:

$\frac{1}{20}(8 - x) + \frac{1}{10}(2 + x) = \frac{3}{4}$

3. Решение уравнения

Для удобства умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей $20$, $10$ и $4$, то есть на $20$:

$20 \cdot \left( \frac{8 - x}{20} + \frac{2 + x}{10} \right) = 20 \cdot \frac{3}{4}$

$(8 - x) + 2(2 + x) = 5 \cdot 3$

Раскроем скобки:

$8 - x + 4 + 2x = 15$

Приведем подобные слагаемые:

$12 + x = 15$

$x = 15 - 12$

$x = 3$

Таким образом, мастер утаил $3$ кг золота.

Ответ: мастер утаил $3$ кг золота.