Страница 247 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1262. Верёвку длиной 28 м надо разрезать на 3 части так, чтобы вторая часть была в 3,5 раза, а третья — в 2,5 раза больше первой. Найдите длину каждой части.

Для решения этой задачи введём переменную. Пусть длина первой части верёвки равна $x$ метров.

Исходя из условия, длина второй части в 3,5 раза больше первой, следовательно, её длина составляет $3.5x$ метров.

Длина третьей части в 2,5 раза больше первой, значит, её длина равна $2.5x$ метров.

Общая длина верёвки — 28 метров. Сумма длин трёх частей должна быть равна общей длине. Составим и решим уравнение:

$x + 3.5x + 2.5x = 28$

Сложим все слагаемые в левой части уравнения:

$(1 + 3.5 + 2.5)x = 28$

$7x = 28$

Теперь найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = \frac{28}{7}$

$x = 4$

Таким образом, длина первой части верёвки составляет 4 метра.

Теперь вычислим длины второй и третьей частей:

Длина второй части: $3.5 \cdot 4 = 14$ метров.

Длина третьей части: $2.5 \cdot 4 = 10$ метров.

Проверим полученный результат: $4 + 14 + 10 = 28$ метров. Сумма длин всех частей равна исходной длине верёвки, что подтверждает верность решения.

Ответ: длина первой части — 4 м, второй — 14 м, третьей — 10 м.

1263. Один человек спросил своего приятеля:

— Сколько лет твоему сыну?

— Если к возрасту моего сына прибавить столько же да ещё половину, то будет 10 лет. Сколько же лет сыну?

$x + x + \frac{x}{2} = 10$

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это возраст сына.

Согласно условию, если к возрасту сына прибавить столько же и еще половину, то получится 10 лет. Это можно записать в виде уравнения:

$x + x + \frac{1}{2}x = 10$

Сложим все части с переменной $x$ в левой части уравнения:

$2x + \frac{1}{2}x = 10$

Чтобы упростить, представим $2x$ как $\frac{4}{2}x$:

$\frac{4}{2}x + \frac{1}{2}x = 10$

$\frac{5}{2}x = 10$

Теперь найдем значение $x$, для этого умножим обе части уравнения на 2 и разделим на 5:

$5x = 10 \cdot 2$

$5x = 20$

$x = \frac{20}{5}$

$x = 4$

Проверим решение: к возрасту сына (4 года) прибавляем столько же (4 года) и еще половину (4 / 2 = 2 года). Получаем: $4 + 4 + 2 = 10$ лет. Условие выполняется.

Ответ: сыну 4 года.

1264. Одного человека спросили: «Сколько Вам лет?» На что он ответил: «Когда я проживу ещё половину, да треть, да четверть моих теперешних лет, тогда мне будет 100 лет». Сколько лет этому человеку?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это нынешний возраст человека.

Согласно его ответу, если к его текущему возрасту ($x$) прибавить половину ($\frac{1}{2}x$), треть ($\frac{1}{3}x$) и четверть ($\frac{1}{4}x$) его же лет, то в сумме получится 100 лет.

Составим и решим уравнение:

$x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x = 100$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2, 3 и 4 равен 12.

$x \cdot \frac{12}{12} + \frac{1}{2}x \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{3}x \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}x \cdot \frac{3}{3} = 100$

$\frac{12x}{12} + \frac{6x}{12} + \frac{4x}{12} + \frac{3x}{12} = 100$

Теперь сложим числители дробей:

$\frac{12x + 6x + 4x + 3x}{12} = 100$

$\frac{25x}{12} = 100$

Выразим $x$:

$25x = 100 \cdot 12$

$25x = 1200$

$x = \frac{1200}{25}$

$x = 48$

Таким образом, человеку сейчас 48 лет.

Проверим: $48 + \frac{48}{2} + \frac{48}{3} + \frac{48}{4} = 48 + 24 + 16 + 12 = 100$.

Ответ: 48 лет.

1265. Летит стая гусей и навстречу ей один гусь.

— Здравствуйте, сто гусей! — сказал гусь.

— Нас не сто, — ответил вожак стаи. — Вот если бы нас было столько, ещё столько, да полстолько, да четверть столько, да ещё ты, гусь, с нами — вот тогда бы нас было сто гусей.

Сколько гусей было в стае?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество гусей в стае. Согласно условию, которое озвучил вожак, можно записать следующее равенство:

«столько» (гусей в стае) → $x$

«ещё столько» → $x$

«полстолько» → $\frac{1}{2}x$

«четверть столько» → $\frac{1}{4}x$

«да ещё ты, гусь» → $1$

Все вместе это составит 100 гусей. Таким образом, получаем уравнение:

$x + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все слагаемые с переменной $x$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 4:

$2x + \frac{2}{4}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

$\frac{8}{4}x + \frac{2}{4}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

$\frac{11}{4}x + 1 = 100$

Перенесём 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$\frac{11}{4}x = 100 - 1$

$\frac{11}{4}x = 99$

Теперь найдём $x$, разделив 99 на коэффициент $\frac{11}{4}$:

$x = 99 \div \frac{11}{4}$

$x = 99 \cdot \frac{4}{11}$

$x = \frac{99 \cdot 4}{11}$

Сократим 99 и 11 на 11:

$x = 9 \cdot 4$

$x = 36$

Проверим решение. Если в стае было 36 гусей, то:

$36$ (столько) $+ 36$ (ещё столько) $+ 18$ (полстолько) $+ 9$ (четверть столько) $+ 1$ (один гусь) $= 100$ гусей.

$72 + 18 + 9 + 1 = 100$

$90 + 10 = 100$

$100 = 100$

Решение верное.

Ответ: в стае было 36 гусей.

1266. У мальчика в коллекции было 210 российских марок и 65 иностранных. Когда ему подарили ещё 25 марок, то российских марок стало в 3 раза больше, чем иностранных. Сколько российских марок подарили мальчику?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество российских марок, которые подарили мальчику, а $y$ — количество подаренных иностранных марок.

Из условия известно, что всего мальчику подарили 25 марок. Это позволяет нам составить первое уравнение:
$x + y = 25$

Изначально у мальчика было 210 российских и 65 иностранных марок. После получения подарка количество российских марок стало $(210 + x)$, а количество иностранных — $(65 + y)$.

По условию, новое количество российских марок стало в 3 раза больше нового количества иностранных. На основе этого составим второе уравнение:
$210 + x = 3 \times (65 + y)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} x + y = 25 \\ 210 + x = 3(65 + y) \end{cases} $

Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 25 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$210 + x = 3(65 + (25 - x))$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$210 + x = 3(90 - x)$
$210 + x = 270 - 3x$
$x + 3x = 270 - 210$
$4x = 60$
$x = \frac{60}{4}$
$x = 15$

Следовательно, мальчику подарили 15 российских марок.

Ответ: 15.

1267. Отцу 32 года, сыну 8 лет. Через сколько лет отец будет:

а) в 3 раза старше сына;

б) в 5 раз старше сына?

Пусть искомое количество лет равно $x$.

Тогда через $x$ лет возраст отца будет $32 + x$ лет, а возраст сына — $8 + x$ лет.

а)

По условию, возраст отца должен быть в 3 раза больше возраста сына. Составим и решим уравнение:

$32 + x = 3 \cdot (8 + x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$32 + x = 24 + 3x$

Соберем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой:

$3x - x = 32 - 24$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Проверим полученный результат. Через 4 года:

• Возраст отца: $32 + 4 = 36$ лет.
• Возраст сына: $8 + 4 = 12$ лет.

Отношение возрастов: $36 / 12 = 3$. Условие задачи выполняется.

Ответ: через 4 года отец будет в 3 раза старше сына.

б)

По условию, возраст отца должен быть в 5 раз больше возраста сына. Составим и решим уравнение:

$32 + x = 5 \cdot (8 + x)$

Раскроем скобки:

$32 + x = 40 + 5x$

Соберем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой:

$5x - x = 32 - 40$

$4x = -8$

$x = \frac{-8}{4}$

$x = -2$

Полученное значение $x = -2$ означает, что данное событие произошло 2 года назад, а не в будущем. Проверим:

• 2 года назад отцу было: $32 - 2 = 30$ лет.
• 2 года назад сыну было: $8 - 2 = 6$ лет.

Отношение возрастов: $30 / 6 = 5$. Условие выполнялось 2 года назад.

Поскольку вопрос "Через сколько лет?" подразумевает будущее, а мы получили отрицательное значение, это значит, что в будущем отец никогда не будет в 5 раз старше сына. В настоящий момент отец старше сына в $32/8 = 4$ раза, и с течением времени это соотношение будет только уменьшаться.

Ответ: отец никогда не будет в 5 раз старше сына в будущем. Такое соотношение возрастов было 2 года назад.

1268. Брату 12 лет, он в 3 раза старше своей сестры. Через сколько лет он будет в 2 раза старше своей сестры?

1. Сначала найдем текущий возраст сестры. По условию, брату 12 лет, и он в 3 раза старше своей сестры. Следовательно, возраст сестры:
$12 \div 3 = 4$ года.

2. Теперь нам нужно найти, через сколько лет ($x$) брат будет в 2 раза старше сестры. Через $x$ лет брату будет $12 + x$ лет, а сестре будет $4 + x$ лет.

3. Составим уравнение, исходя из условия, что возраст брата будет вдвое больше возраста сестры:
$12 + x = 2 \cdot (4 + x)$

4. Решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$12 + x = 8 + 2x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:
$2x - x = 12 - 8$
$x = 4$

5. Проверим результат: через 4 года брату будет $12 + 4 = 16$ лет, а сестре будет $4 + 4 = 8$ лет. $16$ лет — это ровно в 2 раза больше, чем $8$ лет. Условие выполняется.

Ответ: через 4 года.

1269. а) Сейчас мама в 8 раз старше своей дочери, а через 4 года она будет старше дочери в 4 раза. Сколько лет дочери сейчас?

б) Брат в 3 раза старше сестры, а через 5 лет он будет в 2 раза старше сестры. Сколько сейчас лет брату и сколько лет сестре?

а)

Обозначим текущий возраст дочери за $x$ лет. Согласно условию, возраст мамы сейчас в 8 раз больше, то есть $8x$ лет.

Через 4 года возраст дочери составит $(x + 4)$ лет, а возраст мамы — $(8x + 4)$ лет.

По условию, через 4 года мама будет старше дочери в 4 раза. На основе этого составим уравнение:

$8x + 4 = 4 \cdot (x + 4)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$8x + 4 = 4x + 16$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$8x - 4x = 16 - 4$

$4x = 12$

$x = \frac{12}{4}$

$x = 3$

Следовательно, возраст дочери сейчас — 3 года.

Проверка: сейчас дочери 3 года, маме $8 \cdot 3 = 24$ года. Через 4 года дочери будет $3 + 4 = 7$ лет, а маме $24 + 4 = 28$ лет. $28 / 7 = 4$. Условие выполняется.

Ответ: дочери сейчас 3 года.

б)

Обозначим текущий возраст сестры за $y$ лет. Согласно условию, возраст брата сейчас в 3 раза больше, то есть $3y$ лет.

Через 5 лет возраст сестры составит $(y + 5)$ лет, а возраст брата — $(3y + 5)$ лет.

По условию, через 5 лет брат будет старше сестры в 2 раза. Составим уравнение:

$3y + 5 = 2 \cdot (y + 5)$

Решим полученное уравнение:

$3y + 5 = 2y + 10$

Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$3y - 2y = 10 - 5$

$y = 5$

Таким образом, возраст сестры сейчас — 5 лет. Теперь найдем возраст брата:

$3y = 3 \cdot 5 = 15$

Итак, сейчас брату 15 лет, а сестре 5 лет.

Проверка: сейчас брату 15, а сестре 5 ($15/5 = 3$). Через 5 лет брату будет $15 + 5 = 20$ лет, а сестре $5 + 5 = 10$ лет. $20 / 10 = 2$. Условие выполняется.

Ответ: сейчас брату 15 лет, а сестре 5 лет.

1270. Отец старше сына на 24 года. Сейчас он старше сына в 3 раза.

Через сколько лет отец будет:

а) в 2 раза старше сына;

б) в 5 раз старше сына?

Для решения задачи сначала определим текущий возраст отца и сына. Пусть возраст сына равен $C$ лет, а возраст отца — $O$ лет.

Исходя из условий, мы можем составить систему уравнений:

1. Отец старше сына на 24 года: $O = C + 24$.

2. Отец в 3 раза старше сына: $O = 3C$.

Подставим второе уравнение в первое:

$3C = C + 24$

Решим это уравнение относительно $C$:

$3C - C = 24$

$2C = 24$

$C = 12$

Таким образом, сыну сейчас 12 лет. Теперь найдем возраст отца:

$O = 3 \cdot 12 = 36$

Итак, на данный момент отцу 36 лет, а сыну 12 лет. Теперь ответим на вопросы задачи.

а) в 2 раза старше сына;

Пусть искомое количество лет равно $x$. Через $x$ лет отцу будет $36 + x$ лет, а сыну — $12 + x$ лет. По условию, возраст отца должен быть в два раза больше возраста сына:

$36 + x = 2 \cdot (12 + x)$

Решим это уравнение:

$36 + x = 24 + 2x$

$2x - x = 36 - 24$

$x = 12$

Проверка: через 12 лет отцу будет $36 + 12 = 48$ лет, сыну будет $12 + 12 = 24$ года. $48$ ровно в два раза больше, чем $24$.

Ответ: через 12 лет.

б) в 5 раз старше сына?

Пусть искомое количество лет равно $y$. Через $y$ лет отцу будет $36 + y$ лет, а сыну — $12 + y$ лет. По условию, возраст отца должен быть в пять раз больше возраста сына:

$36 + y = 5 \cdot (12 + y)$

Решим это уравнение:

$36 + y = 60 + 5y$

$5y - y = 36 - 60$

$4y = -24$

$y = -6$

Отрицательный результат $y = -6$ означает, что это событие произошло 6 лет назад, а не произойдет в будущем. Проверим: 6 лет назад отцу было $36 - 6 = 30$ лет, а сыну — $12 - 6 = 6$ лет. $30$ ровно в пять раз больше, чем $6$.

Поскольку отношение возраста отца к возрасту сына с годами уменьшается (от 5 шесть лет назад, до 3 сейчас и до 2 через 12 лет), в будущем отец уже никогда не будет в 5 раз старше сына.

Ответ: это событие было 6 лет назад и в будущем невозможно.

1271. В двух бидонах 70 л молока. После того как из каждого бидона продали по 20 л молока, в одном осталось в 2 раза больше молока, чем в другом. Сколько молока было в каждом бидоне первоначально?

Сначала определим, сколько всего молока осталось в двух бидонах после продажи. Из каждого бидона продали по 20 л, значит, общее количество проданного молока составляет $2 \times 20 = 40$ л. Так как изначально было 70 л, то после продажи в двух бидонах вместе осталось:
$70 \text{ л} - 40 \text{ л} = 30 \text{ л}$.

По условию, в одном бидоне осталось в 2 раза больше молока, чем в другом. Пусть в меньшем бидоне осталось $x$ л молока, тогда в большем — $2x$ л. Их общая сумма равна 30 л. Составим и решим уравнение:
$x + 2x = 30$
$3x = 30$
$x = 10$
Следовательно, после продажи в одном бидоне осталось 10 л, а в другом $2 \times 10 = 20$ л.

Чтобы найти первоначальное количество молока в каждом бидоне, нужно к оставшемуся объему в каждом из них прибавить 20 л, которые были проданы.
Первоначальное количество в первом бидоне: $10 \text{ л} + 20 \text{ л} = 30 \text{ л}$.
Первоначальное количество во втором бидоне: $20 \text{ л} + 20 \text{ л} = 40 \text{ л}$.

Ответ: первоначально в одном бидоне было 30 л молока, а в другом — 40 л.

1272. Двое ели сливы. Один сказал другому: «Дай мне свои две сливы, тогда у нас слив будет поровну», на что другой ответил: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы — тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». Сколько слив у каждого?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — количество слив у первого человека, а $y$ — количество слив у второго человека.

Из первого условия («Дай мне свои две сливы, тогда у нас слив будет поровну») следует, что если у первого станет $x + 2$ сливы, а у второго $y - 2$, то их количество будет равным. Получаем первое уравнение:

$x + 2 = y - 2$

Из второго условия («...лучше ты дай мне свои две сливы — тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя») следует, что если у первого останется $x - 2$ сливы, а у второго станет $y + 2$, то у второго будет вдвое больше. Получаем второе уравнение:

$y + 2 = 2(x - 2)$

Теперь решим получившуюся систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 2 = y - 2 \\ y + 2 = 2(x - 2) \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x + 4$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x + 4) + 2 = 2(x - 2)$

Упростим и решим уравнение относительно $x$:

$x + 6 = 2x - 4$

$2x - x = 6 + 4$

$x = 10$

Итак, у первого человека было 10 слив.

Теперь найдем количество слив у второго, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = x + 4 = 10 + 4 = 14$

Следовательно, у второго человека было 14 слив.

Проверим полученные значения. 1. Если второй отдаст 2 сливы первому, у них станет: $10 + 2 = 12$ и $14 - 2 = 12$. Количество слив равное. Условие выполняется. 2. Если первый отдаст 2 сливы второму, у них станет: $10 - 2 = 8$ и $14 + 2 = 16$. У второго в два раза больше, чем у первого ($16 = 2 \cdot 8$). Условие выполняется.

Ответ: у одного человека было 10 слив, у другого — 14 слив.