Страница 241 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1205. a) Заготовленного корма хватило бы корове на 60 дней или овцам на 90 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит заготовленного корма и корове, и овцам вместе.

б) Крестьянин подсчитал, что заготовленного сена хватит для коровы на 80 дней или для овец на 120 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит заготовленного сена и корове, и овцам вместе.

а)

Для решения этой задачи, примем весь объем заготовленного корма за 1 (единицу). Данный тип задач относится к задачам на совместную работу.

1. Определим, какую часть корма съедает корова за один день. Если всего корма ей хватает на 60 дней, то за один день она съедает $ \frac{1}{60} $ всего корма.

2. Аналогично определим, какую часть корма съедают овцы за один день. Им корма хватает на 90 дней, значит, за один день они съедают $ \frac{1}{90} $ всего корма.

3. Чтобы найти, какую часть корма корова и овцы съедят вместе за один день, нужно сложить их дневные нормы:

$ \frac{1}{60} + \frac{1}{90} $

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 60 и 90 — это 180.

$ \frac{1 \cdot 3}{60 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{90 \cdot 2} = \frac{3}{180} + \frac{2}{180} = \frac{5}{180} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$ \frac{5}{180} = \frac{1}{36} $

Таким образом, вместе корова и овцы съедают $ \frac{1}{36} $ часть всего корма за один день.

4. Теперь найдем, на сколько дней им хватит всего корма при совместном питании. Для этого разделим весь объем корма (1) на ту часть, которую они съедают за один день ($ \frac{1}{36} $):

$ 1 \div \frac{1}{36} = 1 \cdot 36 = 36 $ (дней).

Ответ: 36 дней.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Примем весь объем заготовленного сена за 1 (единицу).

1. Корова съедает все сено за 80 дней, значит, ее дневная норма составляет $ \frac{1}{80} $ всего сена.

2. Овцы съедают все сено за 120 дней, значит, их дневная норма составляет $ \frac{1}{120} $ всего сена.

3. Найдем, какую часть сена они съедят вместе за один день:

$ \frac{1}{80} + \frac{1}{120} $

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 80 и 120 — это 240.

$ \frac{1 \cdot 3}{80 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{120 \cdot 2} = \frac{3}{240} + \frac{2}{240} = \frac{5}{240} $

Сократим дробь на 5:

$ \frac{5}{240} = \frac{1}{48} $

Следовательно, вместе за один день они съедают $ \frac{1}{48} $ часть всего сена.

4. Чтобы найти, на сколько дней им хватит сена, разделим весь объем (1) на их совместную дневную норму ($ \frac{1}{48} $):

$ 1 \div \frac{1}{48} = 1 \cdot 48 = 48 $ (дней).

Ответ: 48 дней.

1206. Из села в город вышел пешеход. Одновременно с ним из города в село выехал велосипедист. Пешеход пришёл в город через 6 ч, а велосипедист приехал в село через 3 ч. Через сколько часов после начала движения они встретились?

Для решения этой задачи можно принять всё расстояние между селом и городом за 1 (одну целую) единицу. Тогда можно определить скорость каждого участника движения как долю расстояния, преодолеваемую за час.

1. Скорость пешехода. Пешеход проходит всё расстояние (1) за 6 часов. Следовательно, за один час он проходит часть расстояния, равную:

$v_п = 1 \div 6 = \frac{1}{6}$ (пути в час)

2. Скорость велосипедиста. Велосипедист проезжает всё расстояние (1) за 3 часа. Следовательно, за один час он проезжает часть расстояния, равную:

$v_в = 1 \div 3 = \frac{1}{3}$ (пути в час)

3. Скорость сближения. Поскольку пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_п + v_в = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю (6):

$v_{сбл} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (пути в час)

Это значит, что за один час пешеход и велосипедист вместе преодолевают половину всего расстояния.

4. Время до встречи. Чтобы найти время, через которое они встретятся, нужно всё расстояние (1) разделить на их скорость сближения $(\frac{1}{2})$:

$t = 1 \div v_{сбл} = 1 \div \frac{1}{2} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$ (часа)

Таким образом, они встретятся через 2 часа после начала движения.

Ответ: через 2 часа.

1207. Из пункта A в пункт B отправили плот вниз по реке. Одновременно с ним из пункта B в пункт A вышел катер, который прибыл в пункт A через 5 ч. Через сколько часов катер встретил плот, если плот прибыл в пункт B через 20 ч после начала движения?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пунктами А и B.
• $v_k$ – собственная скорость катера.
• $v_r$ – скорость течения реки.
• $t$ – искомое время, через которое катер встретит плот.

Плот не имеет собственной скорости и движется со скоростью течения реки ($v_r$). Он отправляется из пункта А в пункт B (вниз по реке) и преодолевает расстояние $S$ за 20 часов. Отсюда мы можем выразить скорость течения:

$v_r = \frac{S}{20}$

Катер отправляется из пункта B в пункт A (вверх по реке), то есть движется против течения. Его скорость относительно берега равна $v_k - v_r$. По условию, катер преодолевает расстояние $S$ за 5 часов. Следовательно:

$v_k - v_r = \frac{S}{5}$

Поскольку плот и катер движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей относительно берега:

Скорость сближения = (скорость плота) + (скорость катера против течения) = $v_r + (v_k - v_r) = v_k$.

Время до встречи ($t$) можно найти, разделив первоначальное расстояние между ними ($S$) на скорость их сближения:

$t = \frac{S}{\text{скорость сближения}} = \frac{S}{v_k}$

Чтобы найти $t$, нам нужно определить значение $v_k$ через $S$. Для этого воспользуемся ранее полученными уравнениями. Из уравнения для скорости катера выразим $v_k$:

$v_k = \frac{S}{5} + v_r$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $v_r$:

$v_k = \frac{S}{5} + \frac{S}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$v_k = \frac{4S}{20} + \frac{S}{20} = \frac{5S}{20} = \frac{S}{4}$

Теперь, зная собственную скорость катера, мы можем найти время до встречи:

$t = \frac{S}{v_k} = \frac{S}{\frac{S}{4}} = S \cdot \frac{4}{S} = 4$ часа.

Ответ: 4 ч.

1208. Опытный токарь выполнит задание за 1 ч 20 мин, а его ученик — за 4 ч. За сколько минут они выполнят задание при совместной работе?

Для решения задачи сначала переведем время выполнения задания для каждого работника в минуты, так как ответ требуется дать в минутах.

1. Время опытного токаря: 1 час 20 минут. В одном часе 60 минут, следовательно:
$1 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 1 \cdot 60 + 20 = 80 \text{ минут}$.

2. Время ученика: 4 часа.
$4 \text{ ч} = 4 \cdot 60 = 240 \text{ минут}$.

Теперь определим производительность каждого. Производительность – это часть работы, выполняемая за единицу времени (в нашем случае, за 1 минуту). Примем всю работу за 1.

3. Производительность опытного токаря ($P_1$) составляет:
$P_1 = \frac{1}{80}$ (часть задания в минуту).

4. Производительность ученика ($P_2$) составляет:
$P_2 = \frac{1}{240}$ (часть задания в минуту).

5. При совместной работе их производительности складываются. Найдем общую производительность ($P_{общ}$):
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{80} + \frac{1}{240}$
Приведем дроби к общему знаменателю (240):
$P_{общ} = \frac{3}{240} + \frac{1}{240} = \frac{3+1}{240} = \frac{4}{240}$
Сократим дробь:
$P_{общ} = \frac{1}{60}$ (часть задания в минуту).

6. Теперь, чтобы найти время ($T$), за которое они выполнят всю работу вместе, нужно всю работу (1) разделить на их общую производительность:
$T = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{60}} = 1 \cdot 60 = 60 \text{ минут}$.

Ответ: 60 минут.

1209. Первый турист может пройти расстояние между городами за 4 ч, а второй — за 6 ч. Как-то раз они вышли одновременно из этих городов навстречу друг другу. Хватит ли им 2,5 ч на движение до встречи?

Для решения задачи примем все расстояние между городами за 1 (одну целую) единицу. Это позволит нам выразить скорости туристов как часть расстояния, которую они проходят за час.

1. Скорость первого туриста. Он проходит все расстояние за 4 часа, значит, его скорость равна $v_1 = \frac{1}{4}$ всего расстояния в час.

2. Скорость второго туриста. Он проходит все расстояние за 6 часов, значит, его скорость равна $v_2 = \frac{1}{6}$ всего расстояния в час.

3. Когда туристы движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения ($v_{сбл}$), сложив их индивидуальные скорости:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю 12:

$v_{сбл} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ расстояния в час.

4. Теперь можно найти время, через которое туристы встретятся ($t_{встр}$). Для этого нужно все расстояние (1) разделить на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{1}{v_{сбл}} = 1 : \frac{5}{12} = 1 \cdot \frac{12}{5} = \frac{12}{5}$ часа.

5. Чтобы сравнить полученное время с временем из условия задачи (2,5 ч), представим дробь $\frac{12}{5}$ в виде десятичного числа:

$\frac{12}{5} = 2,4$ часа.

6. Сравним время, необходимое для встречи (2,4 ч), с предложенным временем (2,5 ч):

$2,4 \text{ ч} < 2,5 \text{ ч}$

Так как время, которое требуется туристам для встречи, меньше, чем 2,5 часа, то этого времени им будет достаточно.

Ответ: да, хватит.

1210. Первая бригада может выполнить задание за 5 недель, а вторая — за 3 недели. Хватит ли им двух недель на выполнение задания при совместной работе?

Чтобы определить, хватит ли двух недель для выполнения задания, нужно найти, какую часть работы обе бригады выполняют вместе за это время. Примем весь объем задания за 1.

1. Найдем производительность каждой бригады, то есть какую часть задания они выполняют за одну неделю.

• Первая бригада выполняет всё задание за 5 недель, значит, её производительность составляет $ \frac{1}{5} $ задания в неделю.
• Вторая бригада выполняет всё задание за 3 недели, значит, её производительность составляет $ \frac{1}{3} $ задания в неделю.

2. Найдем совместную производительность двух бригад, сложив их производительности:
$ \frac{1}{5} + \frac{1}{3} $
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$ \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15} $
Таким образом, работая вместе, за одну неделю бригады выполняют $ \frac{8}{15} $ всего задания.

3. Теперь рассчитаем, какую часть задания бригады выполнят за две недели совместной работы:
$ \frac{8}{15} \times 2 = \frac{16}{15} $

4. Сравним выполненную за две недели работу ( $ \frac{16}{15} $ ) с полным объемом задания (1).
Поскольку $ \frac{16}{15} = 1\frac{1}{15} $, то $ \frac{16}{15} > 1 $.
Это означает, что за две недели совместной работы бригады выполнят всё задание и даже немного больше. Следовательно, двух недель им будет достаточно.

Ответ: Да, хватит.

1211. Задача Я. И. Перельмана. Переписка доклада поручена двум машинисткам. Более опытная из них могла бы выполнить всю работу в 2 ч, менее опытная — в 3 ч. Во сколько времени перепишут они доклад, если разделят между собой работу так, чтобы выполнить её в кратчайший срок?

Для решения задачи определим производительность каждой машинистки, то есть какую часть работы каждая из них выполняет за 1 час. Примем всю работу за 1.

1. Найдём производительность каждой машинистки:

Производительность более опытной машинистки (назовем ее первой), которая выполняет всю работу за 2 часа, составляет:

$v_1 = \frac{1}{2}$ работы в час.

Производительность менее опытной машинистки (назовем ее второй), которая выполняет всю работу за 3 часа, составляет:

$v_2 = \frac{1}{3}$ работы в час.

2. Определим условие кратчайшего срока выполнения:

Чтобы работа была выполнена в кратчайший срок, обе машинистки должны работать одновременно и закончить свои части работы в одно и то же время. Если они работают вместе, их производительности складываются. Это равносильно тому, что они делят работу пропорционально своим скоростям и заканчивают одновременно.

3. Найдём общую производительность:

Общая производительность при совместной работе равна сумме их производительностей:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$v_{общ} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ работы в час.

4. Найдём время, за которое будет выполнена вся работа:

Время $t$ находится делением всей работы (которую мы приняли за 1) на общую производительность:

$t = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{5/6} = \frac{6}{5}$ часа.

5. Переведём полученное время в часы и минуты:

$\frac{6}{5}$ часа = $1 \frac{1}{5}$ часа.

Поскольку в 1 часе 60 минут, найдём, сколько минут составляет $\frac{1}{5}$ часа:

$\frac{1}{5} \times 60 = 12$ минут.

Таким образом, на выполнение всей работы уйдёт 1 час 12 минут.

За это время первая машинистка выполнит $\frac{1}{2} \times \frac{6}{5} = \frac{3}{5}$ работы, а вторая — $\frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$ работы. Вместе они выполнят $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$, то есть всю работу, закончив одновременно.

Ответ: 1 час 12 минут.

1212. Имеющихся денег хватит на школьные завтраки на 24 учебных дня или на обеды на 12 дней. На сколько дней хватит этих денег, если завтракать и обедать в школе?

Для решения этой задачи можно представить всю имеющуюся сумму денег как одну целую работу или единицу (1). Тогда можно определить, какая часть денег тратится на один завтрак и на один обед.

1. Определим, какая часть денег тратится на один завтрак.
Если всей суммы хватает на 24 завтрака, то стоимость одного завтрака составляет $\frac{1}{24}$ от всей суммы.

2. Определим, какая часть денег тратится на один обед.
Если всей суммы хватает на 12 обедов, то стоимость одного обеда составляет $\frac{1}{12}$ от всей суммы.

3. Теперь найдем, какая часть денег будет тратиться ежедневно, если завтракать и обедать. Для этого нужно сложить стоимость одного завтрака и одного обеда:

$\frac{1}{24} + \frac{1}{12}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 24 и 12 — это 24. Дополнительный множитель для второй дроби равен $24 \div 12 = 2$.

$\frac{1}{24} + \frac{1 \times 2}{12 \times 2} = \frac{1}{24} + \frac{2}{24} = \frac{1+2}{24} = \frac{3}{24}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

Это означает, что на завтрак и обед вместе каждый день будет уходить $\frac{1}{8}$ всей суммы денег.

4. Наконец, чтобы найти, на сколько дней хватит денег, нужно всю сумму (1) разделить на ежедневную трату ($\frac{1}{8}$):

$1 \div \frac{1}{8} = 1 \times \frac{8}{1} = 8$ (дней)

Ответ: имеющихся денег хватит на 8 дней, если завтракать и обедать в школе.

1213. Мама с дочкой потратили на уборку квартиры 30 мин. Одна мама убрала бы квартиру за 50 мин. За сколько минут убрала бы квартиру дочь?

Это задача на совместную работу. Примем всю работу по уборке квартиры за 1.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за минуту).

1. Сначала найдем совместную производительность мамы и дочки. Так как они вместе убирают квартиру за 30 минут, их совместная производительность равна:
$V_{совм} = 1 \div 30 = \frac{1}{30}$ (часть квартиры в минуту).

2. Теперь найдем производительность мамы. Так как она одна убирает квартиру за 50 минут, её производительность равна:
$V_{мамы} = 1 \div 50 = \frac{1}{50}$ (часть квартиры в минуту).

3. Чтобы найти производительность дочки, нужно из совместной производительности вычесть производительность мамы:
$V_{дочки} = V_{совм} - V_{мамы} = \frac{1}{30} - \frac{1}{50}$
Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю 150:
$V_{дочки} = \frac{5}{150} - \frac{3}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75}$ (часть квартиры в минуту).

4. Зная производительность дочки, мы можем найти время, за которое она одна уберет всю квартиру. Для этого нужно всю работу (1) разделить на её производительность:
$T_{дочки} = 1 \div V_{дочки} = 1 \div \frac{1}{75} = 1 \cdot 75 = 75$ (минут).

Ответ: 75 минут.

1214. (Греция.) Бассейн наполняется четырьмя трубами, из которых первая может наполнить бассейн за 1 день, вторая — за 1 день, третья — за 3, четвёртая — за 4. За какое время наполнится бассейн через четыре трубы?

Для решения задачи сначала определим, какую часть бассейна наполняет каждая труба за один день. Эта величина называется производительностью.

Примем весь объем бассейна за 1.

1. Производительность первой трубы:
   Первая труба наполняет весь бассейн (1) за 1 день. Ее производительность составляет $1/1 = 1$ бассейна в день.
2. Производительность второй трубы:
   Вторая труба также наполняет весь бассейн (1) за 1 день. Ее производительность составляет $1/1 = 1$ бассейна в день.
3. Производительность третьей трубы:
   Третья труба наполняет бассейн за 3 дня. Ее производительность составляет $1/3$ бассейна в день.
4. Производительность четвертой трубы:
   Четвертая труба наполняет бассейн за 4 дня. Ее производительность составляет $1/4$ бассейна в день.

Чтобы найти общую производительность при совместной работе, нужно сложить производительности всех четырех труб:

Общая производительность = $1 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 4 равен 12.

$2 + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 2 + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = 2 + \frac{7}{12}$

Представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$2\frac{7}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{24 + 7}{12} = \frac{31}{12}$

Таким образом, общая производительность четырех труб составляет $\frac{31}{12}$ бассейна в день.

Теперь, чтобы найти время, за которое наполнится весь бассейн, нужно разделить весь объем (1) на общую производительность:

Время = $\frac{Объем}{Общая \ производительность} = \frac{1}{\frac{31}{12}} = 1 \cdot \frac{12}{31} = \frac{12}{31}$ дня.

Ответ: за $\frac{12}{31}$ дня.