Номер 1211, страница 241 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1211, страница 241.

Условие.

1211. Задача Я. И. Перельмана. Переписка доклада поручена двум машинисткам. Более опытная из них могла бы выполнить всю работу в 2 ч, менее опытная — в 3 ч. Во сколько времени перепишут они доклад, если разделят между собой работу так, чтобы выполнить её в кратчайший срок?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения задачи определим производительность каждой машинистки, то есть какую часть работы каждая из них выполняет за 1 час. Примем всю работу за 1.

1. Найдём производительность каждой машинистки:

Производительность более опытной машинистки (назовем ее первой), которая выполняет всю работу за 2 часа, составляет:

$v_1 = \frac{1}{2}$ работы в час.

Производительность менее опытной машинистки (назовем ее второй), которая выполняет всю работу за 3 часа, составляет:

$v_2 = \frac{1}{3}$ работы в час.

2. Определим условие кратчайшего срока выполнения:

Чтобы работа была выполнена в кратчайший срок, обе машинистки должны работать одновременно и закончить свои части работы в одно и то же время. Если они работают вместе, их производительности складываются. Это равносильно тому, что они делят работу пропорционально своим скоростям и заканчивают одновременно.

3. Найдём общую производительность:

Общая производительность при совместной работе равна сумме их производительностей:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$v_{общ} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ работы в час.

4. Найдём время, за которое будет выполнена вся работа:

Время $t$ находится делением всей работы (которую мы приняли за 1) на общую производительность:

$t = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{5/6} = \frac{6}{5}$ часа.

5. Переведём полученное время в часы и минуты:

$\frac{6}{5}$ часа = $1 \frac{1}{5}$ часа.

Поскольку в 1 часе 60 минут, найдём, сколько минут составляет $\frac{1}{5}$ часа:

$\frac{1}{5} \times 60 = 12$ минут.

Таким образом, на выполнение всей работы уйдёт 1 час 12 минут.

За это время первая машинистка выполнит $\frac{1}{2} \times \frac{6}{5} = \frac{3}{5}$ работы, а вторая — $\frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$ работы. Вместе они выполнят $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$, то есть всю работу, закончив одновременно.

Ответ: 1 час 12 минут.